De Pierce-expansie of Pierce-ontwikkeling van een reëel getal in het interval is de unieke, stijgende rij van positieve gehele getallen waarvoor geldt:
met afwisselend positieve en negatieve termen. De rij is in 1929 door de wiskundige TA Pierce van de universiteit van Nebraska bedacht en naar hem genoemd.. On an Algorithm and Its Use in Approximating Roots of Polynomials. in Mathematical Association of America 36, blz 523-525
Eigenschappen Een Pierce-expansie van een getal is eindig dan en slechts dan als dat getal een rationaal getal is. Irrationale getallen hebben een oneindige Pierce-expansie.
Elke eindige of oneindige rij van stijgende positieve getallen is de Pierce-expansie van een reëel getal tussen 0 en 1.
Als de expansie wordt afgebroken bij de -de term is de fout ten hoogste gelijk aan de absolute waarde van de -de term, dus zeker kleiner dan de absolute waarde van de -de term.
De som van de oneven en van de even termen in de Pierce-expansie vormen een bovengrens en een ondergrens van het getal .
Berekening De Pierce-expansie kan men met het onderstaande algoritme berekenen:. Metric theory of Pierce expansions, februari 1986. in Fibonacci Quarterly 24, 1, blz 22-40
Stel Bereken voor :
Stop zodra
Daarin is de entier van .
Voorbeeld De Pierce-expansie van geeft achtereenvolgens:
De Pierce-expansie van 0,37 is dus (2, 3, 4, 8, 25):
Voorbeelden
De Pierce-expansie van is dus de reeks van natuurlijke getallen vanaf 2 en die van
de natuurlijke getallen.
Dit is de Pierce-expansie waarvan de termen het langzaamst kleiner worden. In het algemeen stijgen de getallen in een Pierce-expansie min of meer exponentieel.
Lengte van de Pierce-expansie Het aantal elementen van de eindige Pierce-expansie van een rationaal getal is de lengte van de expansie, genoteerd als . is de grootste lengte van de Pierce-expansies van alle rationale getallen met :. Length of Finite Pierce Series: Theoretical Analysis and Numerical Computations, 10 september 1996. Report CS-96-21, voor de Universiteit van Waterloo
Verscheidene wiskundigen hielden zich bezig met de studie van de lengte van Pierce-expansies en van de verwante Engel-expansies, in het bijzonder met het bepalen van zo goed mogelijke boven- en ondergrenzen voor .
Shallit bewees dat een bovengrens is van .
Paul Erdős en Shallit en . New bounds on the length of finite Pierce and Engel series, 1991. in Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 3, 1, blz 43-53 gaven in 1991 een verbeterde asymptotische bovengrens, in grote-O-notatie:
waarin een willekeurig klein positief reëel getal is.
Vlado Kešelj leidde in 1996 een nog betere bovengrens af:
Voor de asymptotische ondergrens van vond hij:
Hierin is de natuurlijke logaritme. Uit computerberekeningen bleek dat de bovengrens voor grote nog steeds een ruime overschatting is.
Categorie:Breukexpansie