thumb|Voorbeeld
In de wiskunde wordt met meander een configuratie aangeduid van twee krommen in het vlak, die niet zichzelf snijden maar elkaar wel een aantal maal snijden. Wanneer de twee krommen open zijn en homeomorf met een lijn, spreekt men van een open meander. Wanneer een van de twee krommen gesloten is en de andere open, spreekt men van een gesloten meander. De krommen zijn jordan-krommen en voor de eenvoud wordt een ervan steeds als een lijn voorgesteld. Een stelsel van meanders bestaat uit een lijn en een aantal jordan-krommen die elkaar niet snijden.
Gesloten meander Een gesloten meander wordt dus gevormd door een gesloten kromme die zichzelf niet snijdt en een lijn. De kromme heeft met de lijn ofwel geen, ofwel een even aantal snijpunten. is de orde van de meander.
Meandrisch getal Het aantal verschillende gesloten meanders met snijpunten noemt men het meandrische getal of gesloten-meandrische getal . Hierbij zijn twee meanders verschillend indien men niet door continue vervorming van de kromme van de ene meander naar de andere kan overgaan zonder het aantal of de volgorde van de snijpunten te veranderen. , lijn en een cirkel die elkaar niet snijden , cirkel die een lijn tweemaal snijdt , namelijk:
200px
400px
en hun spiegelingen ten opzichte van de lijn.
Met uitzondering van de gevallen en zijn de gesloten-meandrische getallen even getallen: de ene helft van de mogelijke configuraties is het spiegelbeeld om de lijn van de andere helft heen.
De eerste meandrische getallen vanaf zijn: 1, 1, 2, 8, 42, 262, 1828, 13820, 110954, 933458, 8152860, ...
Het opsommen van alle mogelijke meanders is een probleem uit de combinatoriek, waarbij het aantal mogelijke configuraties exponentieel stijgt met toenemende voor . Alleen de meandrische getallen tot en met zijn tot nog toe bekend.. Enumerations of plane meanders, 20 oktober 1999. voor de Universiteit van Melbourne
Voor een stelsel met gesloten krommen wordt het meandrisch getal voorgesteld als Voorbeelden: voor is dit de reeks: 2, 12, 84, 640, 5236, 45164..., en . Meander, folding, and arch statistics, oktober november 1997. voor Mathematical and Computer Modelling vol 26, nrs 8-10, blz 97-147 voor is dit de reeks: 5, 56, 580, 5894, 60312, 624240...
Er geldt:
dit is het -de Catalan-getal.
Open meanders Een open meander van orde voor bestaat uit een open kromme die zichzelf niet snijdt en een lijn, waarbij de kromme de lijn maal snijdt. Twee open meanders worden als gelijkwaardig beschouwd als ze homeomorf zijn in het vlak.
Voorbeelden De enige mogelijke open meander van orde nul bestaat uit twee evenwijdige lijnen. De enige mogelijke open meander van orde 1 snijdt de lijn eenmaal: Afbeelding:OpenMeanderM1.svg
De open meander van orde 2 snijdt de lijn tweemaal: Afbeelding:Open Meander M2 jaredwf.png
Bruce Bobier en Joe Sawada hebben een algoritme ontwikkeld dat snel alle open meanders of meandrische stelsels van orde kan genereren. en . A Fast Algorithm to Generate Open Meandric Systems and Meanders, 2010. voor ACM Transactions on Algorithms vol 6, nr 2, blz 42:1-42:12
Open-meandrisch getal Het aantal verschillende open meanders van orde is het open-meandrisch getal . Dit is het aantal manieren waarop een rivier een weg maal kan kruisen. Hierbij wordt over het algemeen verondersteld dat de kromme vanuit het zuidwesten komt en van west naar oost loopt, met andere woorden minstens een uiteinde heeft dat onder de lijn ligt.
De eerste open-meandrische getallen vanaf zijn: 1, 1, 1, 2, 3, 8, 14, 42, 81, 262, 538, 1828, 3926, 13820, 30694, 110954, ...
Iwan Jensen. Iwan Jensen: number of plane meanders, 11 april 2009. eigen website, Gearchiveerd op 12 mei 2013 heeft de open-meandrische getallen tot orde berekend.
Verband met gesloten-meandrische getallen Er is een bijectie tussen een lus, een gesloten kromme, die een lijn in punten snijdt en een lijn, een open kromme, die een lijn in punten snijdt. Er geldt:
Dus de oneven open-meandrische getallen zijn gelijk aan de gesloten-meandrische getallen.
Semi-meander Bij een meander wordt verondersteld dat de lijn aan beide zijden oneindig lang doorloopt. Wanneer de lijn een halve lijn is met een eindpunt en maar aan één zijde oneindig doorloopt, spreekt men van een semi-meander. Hier geldt ook dat twee semi-meanders verschillend zijn als ze niet homeomorf zijn.
Een gesloten semi-meander van orde bestaat uit een gesloten zichzelf niet snijdende kromme die de halve lijn in punten snijdt. kan nu wel oneven zijn bij een gesloten kromme.
Dit zijn de semi-meanders van orde 3: 250px
Dit zijn de semi-meanders van orde 4: 400px
Het aantal verschillende semi-meanders van orde wordt aangeduid door het semi-meandrische getal .
Toepassingen Wiskundige meanders duiken in diverse studiegebieden op, waaronder vouwproblemen: bijvoorbeeld kaartenvouwprobleem: bepaal het aantal manieren een rechthoekige landkaart kan worden opgevouwen postzegelprobleem: bepaal het aantal manieren waarop een strip postzegels kan worden opgevouwen het aantal manieren waarop polymeerketens kunnen worden opgevouwen Meanders staan in de computerwetenschap in verband met het sorteren van jordan-reeksen, die worden bepaald door de opeenvolgende -coördinaten van de snijpunten van een jordan-kromme met de -as., , en . Sorting Jordan Sequences in Linear Time Using Level-Linked Search Trees, 1986. voor Information and Control, vol 68, nr 1-3, blz 170-184 Ze zijn in de theoretische informatica in verband gebracht met de gray-codering van strings in bepaalde formele talen. en . Gray codes for reflectable languages, 2009. voor Information Processing Letters, vol 109, nr 5, blz. 296-300 bij het opsommen van bepaalde vlakke algebraïsche krommen
Categorie:Combinatoriek Categorie:Topologie