In de lineaire algebra wordt een vierkante -matrix positief-definiet genoemd, als alle elementen van reëel zijn en de kwadratische vorm , waarin een willekeurige kolomvector in de -dimensionale euclidische ruimte is, positief-definiet is, dus als als niet gelijk is aan de nulvector.
is de getransponeerde matrix van . Meestal wordt verondersteld dat een symmetrische matrix is, maar een positief-definiete matrix hoeft niet symmetrisch te zijn:
De matrix van een vlakke rotatie over een hoek is niet symmetrisch, maar wel positief definiet.
Wanneer in de definitie '' wordt vervangen door '', spreekt men van een negatief-definiete matrix.
Eigenschappen Het product van een positief-definiete matrix met een positief reëel getal is positief-definiet. De som van twee positief-definiete -matrices is positief-definiet.
Merk op dat het product van twee positief-definiete matrices niet noodzakelijk een positief-definiete matrix oplevert. Bijvoorbeeld:
zijn beide positief-definiet. Hun product
is daarentegen niet positief-definiet.
Een vierkante matrix kan altijd worden geschreven als de som van een symmetrische matrix en een antisymmetrische matrix . De matrix is dan en slechts dan positief-definiet als het symmetrische deel van positief-definiet is. Met is , Een symmetrische matrix is positief-definiet dan en slechts dan als alle eigenwaarden van strikt positief zijn. De determinant van een symmetrische positief-definiete matrix is ook strikt positief, omdat de determinant gelijk is aan het product van de eigenwaarden. Een symmetrische matrix die positief-definiet is, heeft dus ook een inverse matrix. De inverse matrix van een positief-definiete matrix is positief-definiet. Matrix is positief-definiet als en slechts als de determinant van elke leidende hoofdminor van strikt positief is. Als een positief-definiete matrix is, dan is elke matrix die uit wordt verkregen door een aantal rijen en corresponderende kolommen uit weg te laten, positief-definiet. In het bijzonder zijn de diagonale elementen van strikt positief. Een positief-definiete matrix heeft een unieke decompositie in een benedendriehoeksmatrix , met 1-en op de hoofddiagonaal, en een bovendriehoeksmatrix , met niet-nul-elementen op de diagonaal. De Cholesky-decompositie van een positief-definiete matrix heeft de vorm , waarin een benedendriehoeksmatrix is. Een matrix is dan en slechts dan positief-definiet als er een inverteerbare matrix bestaat zodanig dat Als positief-definiet is, dan is voor ieder positieve gehele getal ook positief-definiet. Als positief-definiet is, bestaat de matrix voor ieder positieve gehele getal , dat wil zeggen dat er een matrix bestaat, zodat .
Voorbeelden De identiteitsmatrix en elke diagonaalmatrix met strikt positieve elementen zijn positief-definiet. Hilbert-matrices.
Semi-definiete matrix Men heeft een positief semi-definitieve matrix wanneer de strikt positieve eis in de definitie vervangen wordt door . Deze matrices kunnen eigenwaarden hebben die nul zijn.
Een matrix is negatief semi-definiet indien voor alle ongelijk aan de nulvector.
Belang Als de coëfficiëntenmatrix van een stelsel van lineaire vergelijkingen positief-definiet is, heeft het stelsel een oplossing.
De positief-definietheid van de hessiaan van een scalaire functie van variabelen is een voldoende voorwaarde voor de strikte convexiteit van die functie.
Positief-definiete matrices treden op in methoden van lineaire regressie, bijvoorbeeld de kleinste-kwadratenmethode.
In de statistiek is de covariantiematrix van een aantal toevalsvariabelen positief-definiet of indien een van de variabelen een lineaire combinatie is van de andere positief-semidefiniet.
Literatuur . Positive Definite Matrices, 1970. American Mathematical Monthly 77, 3, blz 259-264
Categorie:Lineaire algebra Categorie:Matrix