Een vierkant van Room of Room-vierkant van zijde is een vierkante tabel met rijen en kolommen, waarin de inhoud van elke cel gekozen is uit een verzameling van symbolen, en waarin: elke cel ofwel leeg is ofwel een ongeordend paar van twee verschillende symbolen uit bevat, elk symbool uit precies eenmaal in elke rij en in elke kolom voorkomt en elk ongeordende paar van twee verschillende symbolen uit precies eenmaal voorkomt.
Voor de verzameling worden meestal de getallen van 0 tot en met gebruikt. Dergelijke vierkanten vinden toepassing in de statistische onderzoeksplanning.
Geschiedenis Room-vierkanten zijn naar de wiskundige Thomas Gerald Room genoemd, die ze in 1955 in een kort artikel onder de aandacht heeft gebracht. Ze waren al in 1897 door Howell bedacht of in ieder geval beschreven, in het kader van de organisatie van bridgetoernooien. Ze worden dan ook Howell-rotaties genoemd. en . The existence of Room squares, 1975. in Aequationes Mathematicae 13, blz 1-7 Er zijn teams die elk eenmaal tegen elk ander team spelen. Alle teams spelen in iedere ronde een wedstrijd. Ieder team speelt eenmaal op elk speelbord. De kolommen in de tabel stellen de speelborden voor en de rijen de verschillende spelrondes. De getallen in de cellen stellen de teams voor die tegen elkaar uitkomen aan een bepaald speelbord in een bepaalde spelronde.
Voorbeeld Dit is een voorbeeld van een 7-bij-7-Room-vierkant met als symbolen de cijfers 0 tot en met 7: {|class="wikitable" style="width:18em;height:18em;table-layout:fixed;" |- | 0,7 || || || 1,5 || || 4,6 || 2,3 |- | 3,4 || 1,7 || || || 2,6 || || 0,5 |- | 1,6 || 4,5 || 2,7 || || || 0,3 ||
| || 0,2 || 5,6 || 3,7 || || || 1,4 |- | 2,5 || || 1,3 || 0,6 || 4,7 || ||
| || 3,6 || || 2,4 || 0,1 || 5,7 ||
| || || 0,4 || || 3,5 || 1,2 || 6,7
Eigenschappen Een Room-vierkant blijft een Room-vierkant onder een permutatie van de rijen en kolommen. Een Room-vierkant blijft een Room-vierkant onder een permutatie van de symbolen. De getransponeerde matrix van een Room-vierkant, beschouwd als een matrix, is ook een Room-vierkant. Er bestaan geen Room-vierkanten met een even aantal kolommen of rijen. Er bestaan ook geen Room-vierkanten met zijde 3 of 5. Als en oneven getallen zijn, met kleiner dan of gelijk aan en er bestaat een Room-vierkant met zijde , dan bestaat er ook een Room-vierkant met zijde Er bestaat wel een Room-vierkant met zijde voor elk oneven getal groter dan 5. Dit werd in 1973 bewezen door W.D. Wallis. Wallis had in 1972 reeds aangetoond dat er een Room-vierkanten voor alle zijden , behalve voor en , en voor was het nog niet zeker,. On the Existence of Room Squares, 1972. in Aequationes Mathematicae 8, blz 315-316 maar hij heeft in 1973 laten zien dat er inderdaad ook een Room-vierkant met zijde 257 is.. Solution of the Room square existence problem, 1974. in Journal of Combinatorial Theory, Series A, 17, 3, blz 379-383, met een verwijzing naar het hele artikel
Vormen Een Room-vierkant met als symboolverzameling is gestandaardiseerd met betrekking tot 0 wanneer in iedere cel het ongeordende paar staat. Ieder Room-vierkant kan in de gestandaardiseerde vorm worden gebracht door rijen en kolommen te verwisselen.
Aan een gestandaardiseerd Room-vierkant van zijde kan men een vierkante matrix koppelen van dezelfde grootte, waarbij:
als cel niet leeg is, als cel leeg is.
Een gestandaardiseerd Room-vierkant is scheef wanneer voor de gekoppelde matrix geldt:
waarin de getransponeerde matrix is, de eenheidsmatrix en de vierkante matrix gevuld met enen, beide met rijen en kolommen.
Dit betekent dat een Room-vierkant scheef is wanneer de diagonale cellen in volgorde zijn en als verschilt van precies een van de cellen en leeg is.
Het was in 1974 voor een eindig aantal oneven getallen, waaronder 9 en 39, nog niet bekend of er een scheef Room-vierkant met die zijde bestaat. DR Stinson heeft in 1981 bewezen dat scheve Room-vierkanten bestaan voor elke oneven zijde groter dan 5.. The Spectrum of Skew Room Squares, 1981. in Journal of the Australian Mathematical Society, 31, blz 475-480
Categorie:Combinatoriek