In de wiskunde is de Struve-functie een speciale functie die in 1882 werd geïntroduceerd door de astronoom Hermann Struve tijdens zijn theoretisch onderzoek van diffractieverschijnselenStruve, H., Beitrag zur Theorie der Diffraction an Fernröhren Ann. Physik Chemie 17 (13): 1008-1016, 1882. in de optica. De functie heeft inmiddels toepassingen gevonden in de wiskunde, de optica, de hydrodynamica en de akoestiek. De functie wordt meestal voorgesteld door waarin de orde aangeeft. De Struve-functie beschrijft oplossingen van de Besselse differentiaalvergelijking.
Definitie 300px|thumb|Verloop van de functie voor
De Struve-functie van de eerste soort is een particuliere oplossing van de volgende inhomogene besselse differentiaalvergelijking met speciaal tweede lid
waarin de Gammafunctie voorstelt. Het complexe getal geeft de orde aan van de Struve-functie en is meestal een geheel getal.
Reeksontwikkeling Struve-functies, aangeduid als , kunnen weergegeven worden door de volgende machtreeksen.
waarin de Gammafunctie is.
Integraalvoorstelling Struve-functie kunnen ook door een integraal voorgesteld worden voor
Een andere voorstelling krijgt men door de substitutie .
Recursieformules De Struve functie voldoet aan de volgende recursierelaties:
Integralen Uit de vierde recursieformule volgt onmiddellijk de integraal: .
De volgende integraal wordt ook wel de Struve-integraal genoemd:
Asymptotische ontwikkeling Voor kleine gebruikt men de gegeven bovenstaande machtreeksontwikkeling.
Voor grote verkrijgt men:
waarin de besselfunctie van de tweede soort van de orde is. Alleen de eerste term van deze expansie is weergegeven.
Benaderende formules In de wetenschappelijke literatuur vindt men vele benaderingsformules voor de Bessel- en de Struve-functies. De meeste daarvan splitsen het gebied van op in een gebied waar klein is en een gebied waar groot is. Zo publiceerde J. NewmanJ. Newman, Approximations for the Bessel and Struve functions, Mathematics of Computing, vol.43, nr. 168, pp. 551-556, oktober 1984 nauwkeurige veeltermbenaderingen voor en voor . Een effectieve benadering*Ronald M. Aarts en Augustus J.E.M. Janssen, Approximation of the Struve function occurring in impedance calculations, J. Acoust. Soc. Am.,vol. 113 , nr.5 ,pp. 2635–2637, mei 2003 voor , die geldig is voor alle waarden van met een maximale absolute fout van 0,0049, wordt gegeven door de volgende uitdrukking:
waarin de besselfunctie van de eerste soort en orde 0 is. Met behulp van de vierde recursieformule kan men dan een benadering voor krijgen met een maximale absolute fout van 0,0063. Door gebruik te maken van een soortgelijke maar verbeterde methode kon de nauwkeurigheid voor en opgevoerd worden tot een maximale absolute fout van respectievelijk 0,00125 en 0,00185.*Ronald M. Aarts en Augustus J.E.M. Janssen, Efficient approximation of the Struve functions occurring in the calculation of sound radiation quantities, J. Acoust. Soc. Am.,vol. 140 , nr.6 ,pp. 4154-4160, december 2016 De verbeterde nauwkeurigheid opent de weg naar nauwkeuriger benaderingen voor de hogere orde Struve-functies met en dit met behulp van de eerste recursieformule.
Literatuur Milton Abramowitz & Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications, New York; isbn 978-0-486-61272-0 1972.
Externe links Struve functies op the Wolfram functies website. Struve functions and related functions
Struve