In de algebra is een idempotente matrix een matrix, die met zichzelf vermenigvuldigd weer zichzelf is. Een matrix is dus idempotent, wanneer . Het is hiervoor noodzakelijk dat een vierkante matrix is.
en zijn een voorbeeld van een en een idempotente matrix.
2 × 2 Voorbeeld Als een matrix idempotent is, dan , of , of , .
Het is dus voor iedere idempotente matrix zo, dat het een diagonaalmatrix is of dat het spoor ervan gelijk is aan 1. Voor iedere idempotente diagonaalmatrix zijn en ofwel 1 of 0.
Als is de matrix idempotent als . voldoet dus aan de vergelijking of . Dit is een cirkel met centrum en straal 1/2. Of, in termen van een hoek , is idempotent, maar lineair afhankelijk. is geen noodzakelijke voorwaarde: iedere matrix met is idempotent, maar ook weer afhankelijk.
Eigenschappen Met uitzondering van de eenheidsmatrix is een idempotente matrix singulier. Veronderstel dat regulier is. voorvermenigvuldigd met geeft .
Het verschil tussen een eenheidsmatrix en een idempotente matrix is weer een idempotente matrix, volgens .
Voor een idempotente matrix geldt voor alle machten dat .
Een idempotente matrix is altijd diagonaliseerbaar en de eigenwaardes ervan zijn ofwel 0 of 1. Het spoor van een idempotente matrix is gelijk aan de rang van de matrix.
Categorie:Matrix