In de wiskunde is een galoisuitbreiding van een lichaam een algebraïsche uitbreiding die normaal en separabel is, of equivalent daarmee die waarbij het lichaam elementsgewijs invariant is onder de automorfismegroep .
Karakterisering van galoisuitbreidingen Een belangrijke stelling van Emil Artin stelt dat voor een eindige lichaamsuitbreiding elk van de volgende uitspraken inhoudt dat een galoisuitbreiding is. is een normale en separabele uitbreiding. , dat wil zeggen: het aantal automorfismen is gelijk aan de graad van de uitbreiding.
Andere gelijkwaardige uitspraken zijn: Wanneer een polynoom in de veeltermring irreducibel is, maar ten minste één nulpunt in heeft, is reducibel over en separabel. , dat wil zeggen dat het aantal automorfismen niet kleiner is dan de graad van de uitbreiding. is het elemensgewijs invariante lichaam van een ondergroep van is het elemensgewijs invariante lichaam van Er is een eenduidig verband tussen deellichamen van en subgroepen van
Voorbeelden Voorbeelden van galoisuitbreidingen kunnen op de volgende manier worden geconstrueerd. Neem een willekeurig lichaam en een ondergroep van waarvan het invariante lichaam is. Neem een willekeurig lichaam , een separabel polynoom over en laat het splijtlichaam van het polynoom zijn.
De rationale getallen uitgebreid met het getal , genoteerd met , vormen een galoisuitbreiding. De uitbreiding met is het splijtlichaam van het polynoom . De uitbreiding met alleen van is geen galoisuitbreiding. Er is in geen ander getal dan dat verheven tot de macht drie gelijk aan twee is.
Literatuur . Galoistheorie, 1944. heruitgegeven Galois theory, . Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, 2004. . Galois Theory, 1984, , Springer oorspronkelijke artikel van Galois met achtergronden en commentaar . A short account of the history of symmetric functions of roots of equations, 1930. op JSTOR voor de American Mathematical Monthly 7, blz. 357–365 . Basic Algebra I, 1985. 2e druk, W.H. Freeman and Company, Hoofdstuk 4 geeft een inleiding op de lichaamstheoretische benadering van galoistheorie. en . Galois theories, 2001. door Cambridge University Press, Dit boek introduceert de lezer in de galoistheorie van Grothendieck en geeft een aantal generalisaties. . Algebraic Number Theory, 1994. door Springer-Verlag, Berlijn en New York, Graduate Texts in Mathematics 110 . Foundations of Galois Theory, 2004. vertaald uit het Russische origineel van 1960 door A Swinfen, met een voorwoord van PJ Hilton herdruk van de uitgave uit 1962 door Dover Publications . Galois Theory, 1998. . Groups as Galois groups: an introduction, 1996. door Cambridge University Press Cambridge Studies in Advanced Mathematics 53, . Moderne Algebra, 1931. twee delen . (Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic, 2001.
Bronvermelding
Categorie:Algebraïsche getaltheorie Categorie:Galoistheorie