Een polykubus is een 3-dimensionale, samenhangende figuur bestaande uit kubussen die een grensvlak (vierkant) gemeen hebben. Het bekendere 2-dimensionale equivalent is het polyomino. De meeste polykubussen zijn asymmetrisch, maar vele hebben een of andere symmetrie. Die symmetrie is altijd een van de 33 symmetriesoorten van de kubus. Die symmetriesoorten zijn dus ook de symmetriesoorten van polykubussen.
miniatuur|Symmetriesoort r2sxAs: Draaispiegeling over 90° t.o.v. een as (4-voudig). De kleuren moeten genegeerd worden.
Inleiding Over polykubussen bestaat veel Engelstalige literatuur. In het Nederlands is er betrekkelijk weinig. Er zijn tal van puzzels met polykubussen. Het aantal polykubussen bestaande uit n kubussen kan op verschillende manieren worden geteld. Een interessante eigenschap van een polykubus is de symmetrie.
Het aantal polykubussen Het aantal polykubussen bestaande uit n kubussen is afhankelijk van welke als verschillend worden beschouwd. Hier worden twee als verschillend gezien als zij niet in elkaar kunnen overgaan middels een translatie en/of een rotatie en/of een spiegeling. Dit wordt wel aangeduid met vrije polykubussen. De genoemde aantallen betreffen bovendien uitsluitend die werkelijk 3-dimensionaal zijn. In wezen 2-dimensionale (en 1-dimensionale) polyominoes worden dus niet meegeteld.
Polykubussen kunnen ook uitsluitend als gelijk worden beschouwd als zij middels een translatie in elkaar kunnen overgaan. Dan wordt gesproken van vaste polykubussen.
Het aantal vrije en vaste polykubussen + Aantal , n=4..11n4567891011Vrije 211774993442241281734281262464Vaste 323482836212251547411123143818540360088748 Het aantal vrije is bekend tot minstens =16.OEIS reeks: Het aantal vrije Polykubussen Het aantal vaste is bekend tot minstens =19.OEIS reeks: Het aantal vaste Polykubussen
Het aantal polykubussen wordt ook op andere manieren geteld. Vaak wordt spiegelsymmetrisch buiten beschouwing gelaten, met name 3-dimensionaal, maar ook 2-dimensionaal.Lunnon 1975Gong's Website
De symmetriesoorten van polykubussen De meeste zijn asymmetrisch. Veel hebben een of meer symmetrieën, d.w.z. dat na bepaalde operaties op de polykubus de figuur er precies hetzelfde uitziet: het beeld is niet van het origineel te onderscheiden. Deze symmetrische operaties vormen niet zo maar een verzameling. De verzameling vormt een wiskundige groep. Deze groep is een ondergroep van , de symmetriegroep van de kubus. De ondergroep behoort tot een bepaalde klasse van geconjugeerde ondergroepen die samen de symmetriesoort van de polykubus vormen.
De orde van een symmetriesoort Een is -voudig symmetrisch als de orde van de symmetriesoort is. Elke ondergroep in de symmetriesoort heeft diezelfde orde , het aantal operaties in de ondergroep.
Aantal polykubussen per symmetriesoort + Aantal per symmetriesoort, n=4..11symmetriesoortorde45678910114-11Totaal 1-482117749934422412817342812624641464051r1Asym1044639430252270716773212414171435325r22As200343752342502940r44As4000000000r22Diag2125174913837410621648r33Lich30001019112r222As4000000112r222DiagAs4000000123r332LichAs12000000000r422AsDiag8000000000r322LichDiag6000000101r432Alle24000000000s11As20184220490339681692622052s11Diag2036267224162320282999s22As4000292368161263s44As80011236720s22Diag400102212926s33Lich61002016212s22DiagAs401258223995172s332LichDiag24000000000s222As8000001034s422As16000001146s222DiagAs8000011125r2s11As4000137204374r4s11As8000000000r2s11Diag4002165261757r2s2AsDiag8000010001r2s2DiagAs80011235618r3s2LichAs24000000000r2s3DiagLich12001000001sx200112017192175406r2sxAs4000000112r3sxLich6000000000s432Alle48000110002
Aantal polykubussen per symmetrieorde + Aantal per symmetrieorde, n=4..11-voudig45678910114-111044639430252270716773212414171435325216239038213515499206932804530001019112401592859168329599610020172138002268121848120010000011600000114624000000000480001100021-482117749934422412817342812624641464051
Aantallen polykubussen zonder spiegelsymmetrie Juist in drie dimensies worden spiegelsymmetrieën vaak buiten beschouwing gelaten. In de Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) staan meerdere reeksen met bepaalde aantallen polykubussen waarbij dit het geval is. Die aantallen komen dan uiteraard niet overeen met bovenstaande aantallen. De reeksen met aantallen polykubussen per symmetrieorde geven dus andere getallen. De enige reeks die (toevallig) overeen komt is de reeks met het aantal polykubussen dat 24-voudig symmetrisch is.OEIS: aantal 24-voudig symmetrische Als alleen rotatiesymmetrieën worden geteld is dit de hele symmetriegroep van een kubus. Deze zijn dus volledig symmetrisch. Aangezien het aantal bij elke hooguit één is, zijn deze ook spiegelsymmetrisch en de reeks is dan ook gelijk aan 48-voudig symmetrisch hierboven. De andere aantallen die in OEIS bij rotatiesymmetrieën worden gegeven zijn niet direct in verband te brengen met de hier genoemde aantallen die inclusief spiegelsymmetrie zijn.OEIS: aantallen
Alle symmetriesoorten hebben polykubussen Het is misschien niet direct vanzelfsprekend dat elke mogelijke symmetriesoort van een polykubus inderdaad voorkomt. Toch is dat het geval.
Bewijs Neem een polykubus van 7*7*7. Neem de oorsprong als middelpunt en de coördinaten van de eenheidskubussen [-3 .. 3]. Eenheidskubus =[-3,-2,-1] ligt asymmetrisch op . D.w.z. alle 48 symmetrische operaties op beelden af op een andere positie. Kleur de eenheidskubussen van wit, alleen en de afbeeldingen van onder de te realiseren symmetriesoort geel. Het aantal gele eenheidskubussen op is dan gelijk aan de orde van . De zo geconstrueerde heeft symmetriesoort . De tekening van de symmetriesoorten van de kubus hieronder is op deze manier tot stand gekomen. Ter illustratie is alleen de kleur van niet geel maar groen.
Tekening van de symmetriesoorten De 33 mogelijke symmetriesoorten van een (poly)kubus, gevisualiseerd op een 7*7*7 polykubus
gecentreerd|800x800px|Kubus symmetriesoorten
Ontbrekend: Volledig symmetrisch (48-voudig).
Enkele interessante symmetriesoorten met voorbeelden Zoals uit de tabel blijkt zijn er van een aantal symmetriesoorten geen polykubussen . Enkele symmetriesoorten zijn interessant omdat er slechts weinig zijn met die symmetriesoort.
Symmetriesoort r33Lich (orde 3) Rotatie over 120° om een lichaamsdiagonaal. Deze symmetriesoort heeft 4 ondergroepen, een voor elke lichaamsdiagonaal van een kubus. Er zijn geen met deze symmetrie.
Dit is de enige met deze symmetriesoort. De symmetrische operaties zijn: rxYz, rxYz2, e.
Symmetriesoort s422As (orde 16) Spiegelingen t.o.v. alle coördinaatassen plus een stel diagonalen. Deze symmetriesoort heeft 3 ondergroepen, een per coördinaatas als snijlijn van vier spiegelvlakken. Er zijn geen met deze symmetrie.
Dit is de enige met deze symmetriesoort. De symmetrische operaties zijn: rz, rz2, rz3, rx2, ry2, rxy, rxY, sx, sy, sz, sxy, sxY, sO, rsz, rsz3, e.
Symmetriesoort r2s11As (orde 4) Spiegeling+rotatie over 180° t.o.v. een as. Deze symmetriesoort heeft 3 ondergroepen, een per coördinaatas. Er zijn geen met deze symmetrie.
Dit is de enige met deze symmetriesoort. De symmetrische operaties zijn: rx2, sx, sO, e.
Symmetriesoort r2s2AsDiag (orde 8) Diagonaalspiegelingen+asrotaties over 180°. Deze symmetriesoort heeft 3 ondergroepen, een per coördinaatas als snijlijn van de spiegelvlakken.
Deze is de enige met deze symmetriesoort. De symmetrische operaties zijn: rx2, ry2, rz2, syz, syZ, rsx, rsx3, e.
Symmetriesoort r2sxAs (orde 4) Draaispiegeling over 90° t.o.v. een as. Deze symmetriesoort heeft 3 ondergroepen, een voor elke coördinaatas.
De twee polykubussen met deze symmetriesoort. De symmetrische operaties zijn: rsz,rz2,rsz3,e.
Zie ook Symmetriegroep van de kubus
Voetnoten
Literatuur W. F. Lunnon: "Symmetry of Cubical and General Polyominoes",hoofdstuk in Graph Theory and Computing, editor Ronald C. Read, 1972
W. F. Lunnon: "Counting multidimensional polyominoes", artikel in The Computer Journal, Volume 18, Issue 4, 1975, Pages 366–367
Categorie:Symmetrie Categorie:Recreatieve wiskunde