In de differentiële meetkunde binnen de wiskunde zijn isotherme coördinaten of conforme coördinaten lokale coördinaten op een riemann-variëteit waarbij de metriek conform is met de euclidische metriek. Dit betekent dat in isotherme coördinaten de riemann-metriek lokaal de vorm heeft van:
waar conforme factor, welke een gladde functie is. Als de riemann-variëteit georiënteerd is, zijn er die beweren dat een coördinatensysteem met die oriëntatie moet overeenkomen om isotherm te zijn.
Isotherme coördinaten op oppervlakken Isotherme coördinaten op oppervlakken werden voor het eerst in 1822 door Gauss geïntroduceerd, CF Gauss. Allgemeine Auflösung der Aufgabe: die Theile einer gegebnen Fläche auf einer andern gegenen Fläche so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird, 1822. blz 463–475. Gearchiveerd op 20 april 2023. die het bestaan van de coördinaten bewees op een willekeurig oppervlak met een analytische metriek, volgens de resultaten op omwentelingsoppervlakken van Lagrange uit 1779. J-L Lagrange. Sur la construction des cartes géographiques, 1779. in Œuvres complètes, 4, blz 637-692 Korn A Korn. Zwei Anwendungen der Methode der sukzessiven Annäherungen, 1914. blz 215–229, Springer Berlin Heidelberg, en Lichtenstein L Lichtenstein. Zur Theorie der konformen Abbildung: Konforme Abbildung nicht-analytischer, singularitätenfreier Flächenstücke auf ebene Gebiete, 1916. voor Bulletin international de l'Académie des sciences de Cracovie 1e jaargang. Gearchiveerd op 10 april 2022. bewezen dat isotherme coördinaten bestaan rond elk punt op een 2D-riemann-variëteit.
Beltrami-vergelijking Het bestaan van isotherme coördinaten kan worden bewezen door bekende existentiestellingen toe te passen voor de Beltrami-vergelijking, die gebaseerd zijn op -schattingen voor singuliere integrale operatoren van Calderón en Zygmund. L Ahlfors. Lectures on quasiconformal mappings, 1966. voor de American Mathematical Society, Yōichi Imayoshi en Masahiko Taniguchi, 雅彦 谷 口. An introduction to Teichmüller spaces, 1992. blz 20-21 en 92–104, Springer Tokyo, Een eenvoudigere benadering van de Beltrami-vergelijking is in 2000 door Adrien Douady gegeven. A Douady. Le théorème d'intégrabilité des structures presque complexes, 5 augustus 2011. blz 307–324
Als de riemann-metriek lokaal wordt gegeven als
dan heeft het in de complexe coördinaat de vorm
waarbij en glad zijn met en . Oftewel, en
Een lokale coördinaten grafiek van wordt een isotherme coördinaten systeem genoemd. In isotherme coördinaten is de lokale metriek dan
waarbij glad is. De complexe coördinaat voldoet aan
zodat de coördinaten isotherm zullen zijn als de Beltrami-vergelijking
een diffeomorfe oplossing heeft. Het is bewezen dat een dergelijke oplossing bestaat in elke buurt waar .
Gaussiaanse kromming De gaussiaanse kromming neemt in de isotherme coördinaten een eenvoudigere vorm aan, namelijk
Categorie:Differentiaalmeetkunde Categorie:Differentiaaltopologie Categorie:Partiële differentiaalvergelijking Categorie:Riemann-meetkunde