In de wiskunde is een asymmetrische relatie een tweeplaatsige relatie van verzameling waar voor elke geldt dat als dan .
Formele definitie
Voorafgaand Een tweeplaatsige relatie op is elke deelverzameling van . Als gegeven is dat , schrijft men dan en slechts dan als . De uitdrukking wordt gelezen als " is gerelateerd aan via ."
Definitie Een tweeplaatsige relatie is asymmetrisch wanneer voor alle geldt: als waar is, dan is onwaar. Dat wil zeggen, als , dan .
Dit kan in de taal van de eerste-orde-predicatenlogica geschreven worden als Een logisch equivalente definitie is:
voor alle is óf onwaar, óf onwaar, óf ze zijn allebei onwaar.
In de taal van de eerste-orde-predicatenlogica kan dat als volgt worden geschreven:Een relatie is asymmetrisch dan en slechts dan als zij zowel antisymmetrisch als irreflexief is.
Voorbeelden Een voorbeeld van een asymmetrische relatie is de "is kleiner dan" relatie tussen reële getallen: als dan is uitsluitend groter dan . Elke strikte partiële orde is een asymmetrische relatie, maar niet elke asymmetrische relatie is een strikte partiële orde. Een voorbeeld van een asymmetrische, intransitieve relatie relatie is de steen-papier-schaar relatie. Stel, verslaat dan verslaat niet en stel, verslaat en verslaat dan verslaat niet
Eigenschappen Het is voldoende als er aan een van de volgende voorwaarden gedaan wordt, wil relatie asymmetrisch zijn.
is irreflexief en antisymmetrisch (dit is ook nodig) is irreflexief en transitief. Een transitieve relatie is asymmetrisch dan en slechts dan als zij irreflexief is: als en volgt uit transitiviteit wat in tegenspraak is met irreflexiviteit. Deze relatie is een strikte partiele orde. is antitransitief en antisymmetrisch is antitransitief en transitief
Referenties
Categorie:Ordetheorie