In de wiskunde geeft het reversietheorema van Lagrange reeksontwikkelingen of formele machtreeksontwikkelingen van bepaalde impliciet gedefinieerde functies; sterker nog, van composities met dergelijke functies. Het gaat over functies als met waarin en onafhankelijke variabelen voorstellen.
In 1770 publiceerde Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) zijn machtreeksoplossing van de impliciete vergelijking voor die hierboven is genoemd. Zijn oplossing maakte echter gebruik van omslachtige reeksontwikkelingen van logaritmen. In 1780 publiceerde Pierre-Simon Laplace (1749–1827) een eenvoudiger bewijs van de stelling, gebaseerd op relaties tussen partiële afgeleiden met betrekking tot de variabele . Charles Hermite (1822–1901) presenteerde het meest rechtstreekse bewijs van de stelling door gebruik te maken van contourintegratie.E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1962, pages 132–133. De reversiestelling van Lagrange kan worden gebruikt om numerieke oplossingen voor de vergelijking van Kepler te verkrijgen.
De reeksontwikkeling luidt:
Als het enkel nodig is om te ontwikkelen, maakt men en
Het bestaan van zulk een ontwikkeling wordt maar verzekerd voor waarden van zodanig dat de reeks convergeert. Toepassing
Bovenstaande toegepast op de vergelijking van Kepler, die kan geschreven worden als met en met de excentrische anomalie, de middelbare anomalie en de excentriciteit geeft:
Voor planetaire- en satelietbanen is de excentriciteit zeer klein, zodat deze reeks snel convergeert. De eerste drie termen geven reeds een nauwkeurige waarde voor . Verdere uitwerking van de ontwikkeling van Lagrange zal de nauwkeurigheid alleen maar vergroten. Men verkrijgt een reeks die voorgesteld kan worden door:
Als de termen die bevatten kunnen worden verwaarloosd, worden de waarden van de coëfficiënten gegeven door W.M. Smart, "Textbook on Spherical Astronomy", 7th edition, , 1977, Cambridge, England: Cambridge University Press, pages 117-118:
.
Referenties
Categorie:Wiskundige stelling