De mot is een fractale gelijkzijdige driehoek waarvan de zijden zijn vervangen door de lepidopter-kromme, een variant van de Koch-kromme. Hij vertoont eigenschappen die vergelijkbaar zijn met die van de siamese, een fractale ruit die is gebaseerd op de Koch-kromme, en kan daarom worden opgesplitst in oneindig veel kopieën van zichzelf. Deze figuur werd in maart 2024 ontdekt door Giorgio Pietrocola en gepubliceerd in verschillende Italiaanse wiskundetijdschriften.
Algoritme Het algoritme voor het genereren van de lepidoptera-kromme lijkt op dat voor de Koch-kromme. Om dit te illustreren, wordt een algoritme gebruikt dat langzamer convergeert dan het algoritme dat normaal gesproken wordt gebruikt om de Koch-kromme te verkrijgen. Voor beide krommen beginnen we met een segment en vervangen we dit door twee schuine segmenten die samen een gelijkbenige driehoek vormen met hoeken van 30, 120 en 30 graden. Vervolgens wordt dezelfde transformatie toegepast op de segmenten, die op elk niveau groeien als machten van twee. Het verschil tussen de krommen ligt in de verschillende afwisseling naar rechts of links van de vervangingen die op de segmenten worden uitgevoerd, zoals weergegeven in de figuur.
FMSLogo-programma
to falena :lato :liv right 180 make "nstop int (0.5+(power 2 :liv-1)*4/3)+2 make "mem pos make "hh heading hideturtle penup forward :lato/2 back :lato/2 pendown make "conta 0 make "mem pos make "hh heading falenarico :lato*3 :liv 1 1 penup setpos :mem setheading :hh pendown make "conta 0 make "mem pos make "hh heading falenarico :lato*3 :liv 1 -1 penup setpos :mem setheading :hh pendown showturtle right 180 end
to falenarico :x :l :s :t localmake "x :x/sqrt 3 if :l=0 [make "conta :conta+1 if :conta>=:nstop [ stop] forward :x stop ] left 30*:s*:t falenarico :x :l-1 -1 -:t right 60*:s*:t falenarico :x :l-1 1 -:t left 30*:s*:t end De procedure ‘'falenarico’' wordt gebruikt door de procedure ‘'falena’'. Nadat je ze hebt gekopieerd en opgeslagen in de editor van FMSLogo, kun je ‘'falena 200 10’' invoeren in de opdrachtregel om een mot te verkrijgen met de opgegeven grootte en het opgegeven iteratieniveau. Aanvullende procedures, zoals ‘'falenarep’' om een zich vermenigvuldigende mot te verkrijgen zoals weergegeven in de afbeelding, zijn beschikbaar in het online artikel.
Vergelijking tussen de mot en de siamese thumb|440 px|Vergelijking tussen de mot en de siamese. De antifiguren zijn in rood weergegeven. De referentiefractale veelhoeken zijn gemarkeerd. Terwijl de siamese en de anti-siamese worden verkregen door de zijden van een ruit te vervangen door Koch-krommen, wordt de mot verkregen door de zijden van een gelijkzijdige driehoek te vervangen door naar buiten gerichte lepidopteran-krommen. Als deze naar binnen gericht zijn, ontstaat een anti-mot (zie afbeelding). De omtrekken van deze fractale veelhoeken zijn allemaal oneindig. Terwijl de oppervlakte van de siamese met 40% van zijn referentieruit toeneemt, neemt die van de mot met 75% van zijn driehoek toe. De antifiguren nemen met hetzelfde percentage af. Zowel de siamese kat als de mot, samen met hun tegenbeelden, vallen uiteen in oneindig veel gelijke kopieën. Tessellatie van het vlak met soortgelijke fractale figuren
Online bibliographie
Categorie:Fractale meetkunde