Analyse is een tak van de wiskunde die ontwikkeld is uit de rekenkunde en de meetkunde. De ontwikkeling van de analyse wordt aan Leibniz en Newton toegeschreven. Ook Barrow, Descartes, de Fermat, Hudde en Huygens hebben eraan gewerkt. Een van de belangrijkste redenen om analyse te ontwikkelen was om het raaklijnprobleem op te lossen, dat wil zeggen het construeren van de raaklijn in een punt aan een kromme en het berekenen van de helling ervan.
De analyse is het vakgebied dat zich bezighoudt met eigenschappen van functies, zoals extreme waarden, stationaire punten, asymptoten, krommen, hellingen van raaklijnen en door krommen omsloten oppervlaktes. Kernbegrippen van de analyse vormen de afgeleiden, integralen en limieten. Dit artikel geeft een overzicht van de geschiedenis van de analyse.
Wegbereiders van de analyse De ontdekking van de integraal- en differentiaalrekening is eind 17e eeuw gedaan door Newton en Leibniz. Ze bouwden daarbij voort op het werk van anderen.
René Descartes (1596-1650) en Pierre de Fermat (1601-1665) zijn twee Fransen, die een enorme bijdrage hebben geleverd aan het ontstaan van de wiskundige analyse. Ze bedachten, onafhankelijk van elkaar en ongeveer gelijktijdig, de analytische meetkunde. Beiden legden het verband tussen algebraïsche vergelijkingen en meetkundige krommen van punten, waarvan de coördinaten aan die vergelijkingen voldoen. Vermeldenswaard is het verschil in benadering: Fermat ging altijd uit van een kromme, gegeven door een vergelijking, terwijl Descartes een kromme als een meetkundig object zag, waaraan hij in sommige gevallen een vergelijking kon verbinden. Beide mannen zetten hun werk voort en hebben daarbij ook aan de fundamentele problemen van de analyse gewerkt: het vinden van raaklijnen, oppervlakken en extremen.
Descartes ontwikkelde zijn 'methode van normalen', die hem in staat stelde de normaal (en dus ook de raaklijn) in een punt aan een kromme te construeren. Het nadeel van zijn methode was dat deze alleen werkte voor krommen waarvan de vergelijking een polynoom was, en dat de methode veel rekenwerk kostte.
Fermat hield zich bezig met het vinden van extremen van functies (in de praktijk slechts polynomen). Hij ontwikkelde hiervoor zijn 'methode van adequaliteit'. Fermat was in staat de oppervlakte te bepalen onder krommen van de vorm:
met een geheel getal (). Dit deed hij echter niet via de hoofdstelling van de integraalrekening (die moest nog worden bedacht), maar door steeds slimme sommaties met oneindig veel rechthoekjes toe te passen.
In de loop van de 17e eeuw waren er meer mensen die zich bezighielden met oppervlaktes en raaklijnen en soms wat bijdroegen. Een paar significante voorbeelden zijn: John Wallis (1616-1703), Nikolaus Mercator (1620-1687) en James Gregory (1638-1675).
Wallis bepaalde de oppervlakte onder een kromme:
door sommatie. Mercator introduceerde een machtreeks; hij bepaalde de machtreeks voor de natuurlijke logaritme. Gregory vond de machtreeksen van een aantal trigonometrische functies zoals de arcsinus, de arctangens en de tangens.
Er waren rond 1650 dus al methoden ontwikkeld om in specifieke gevallen oppervlakken en raaklijnen te bepalen. Hier past wel de aantekening dat de toenmalige benadering veel meetkundiger was dan de huidige. Het ging steeds om het construeren van een raaklijn, en niet om het vinden van een richtingscoëfficiënt, de numerieke waarde van de helling van die raaklijn. Bovendien beschouwde geen van bovengenoemde heren oppervlakte als een functie van de -coördinaat: men nam meestal de oppervlakte van tot . Het is daarom niet verwonderlijk dat geen van hen de hoofdstelling van de integraalrekening gevonden heeft. Hiervoor is het immers noodzakelijk de oppervlakte weer als een functie op te vatten en te differentiëren. (Barrow, de leraar van Newton, vond deze stelling wel, maar zag niet hoe belangrijk deze was.)
Newton (1642-1727) Isaac Newton bestudeerde de Elementen van Euclides, de Clavis Mathematicae van William Oughtred, een populair boek over rekenen en algebra, la Geometrie van René Descartes, het werk van Viète en de Arithmetica Infinitorum van John Wallis. Newton kreeg in 1667 een opleidingsplaats aan de Universiteit van Cambridge, hij werd er fellow - te vergelijken met een AiO-plaats - en bemachtigde in 1667 een 'postdoc-positie'. In 1669 volgde Newton Isaac Barrow op als Lucasian professor.
Newton maakte aantekeningen bij boeken, die de inhoud van die boeken ver overtroffen. Een voorbeeld zijn de Annotations from Wallis, waarin Newton het binomium dat naar hem is genoemd, als commentaar opschrijft tijdens het lezen van de Arithmetica Infinitorum.
Bijzonder aan Newtons wiskundige werk - hij was in de eerste plaats natuurkundige - is dat hij er geen letter van publiceerde. Zijn ideeën over analyse moeten zich grotendeels gevormd hebben tussen 1660 en 1670, maar zijn resultaten werden slechts bekend via zijn - soms cryptische - brieven, en via "collegedictaten", aantekeningen van zijn studenten. Veel van zijn manuscripten kwamen in het informele circuit in Engeland terecht. Twee van deze manuscripten staan hier centraal: De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, ±1669 'Over analyse met vergelijkingen van oneindig veel termen' Tractatus de methodis serierum et fluxionum, ±1671 'Verhandeling over de methoden van reeksen en fluxen'
Differentiëren
Voor Newton was analyse vooral toegepaste mechanica. Hij beschouwde fluents, die met een bepaalde snelheid veranderen. Die snelheden noemt hij fluxions. Verder is in vrijwel ieder voorbeeld de fluent de positie van een deeltje en de fluxion dus de snelheid. Een fluxion wordt genoteerd met een puntje op de letter van de betreffende fluent. De Tractatus is in problemen opgedeeld, die steeds beantwoord worden en waar vervolgens voorbeelden van gegeven worden. Newton formuleerde probleem 1 in de Tractatus als volgt:
Probleem 1: Gegeven een relatie tussen fluents, vind de relatie van de fluxions.
Newton denkt hierbij dus aan een kromme: en hieruit probeert hij een relatie tussen de fluxen te vinden. In onze terminologie gebruikt hij:
Hierbij geeft hij het volgende voorbeeld. Laat gegeven zijn:
De instructie van Newton luidt nu: Laat en de fluxen van en zijn. Begin met . Vermenigvuldig elke term met zijn dimensie (de exponent van ,) en vervolgens met . Hier krijg je dan:
Doe hetzelfde voor : (nu met in plaats van )
Tel op en stel op nul:
Newton behandelt ook het probleem van de extremen en wel heel pedagogisch verantwoord. Hij gebruikt namelijk hetzelfde voorbeeld.
Probleem 3: Gegeven een relatie tussen fluents, vind de extreme waarden van de fluents.
Hier gaf Newton het standaard, intuïtieve argument dat in een extreem van bijvoorbeeld de fluxion van nul is. Hij schreef de vergelijking op die je krijgt om zo'n extreem te vinden en zegt dat je deze zou kunnen oplossen, maar besteedt daar geen aandacht aan. Opmerkelijk is dat Newton niet zegt hoe je zonder plaatje kunt zien of een extreem een lokaal minimum of maximum is. Waarschijnlijk achtte hij dit altijd uit de context duidelijk.
Integreren In probleem 9 van de Tractatus behandelde Newton wat nu de hoofdstelling van de integraalrekening heet: integreren en differentiëren zijn elkaars inverse.
Probleem 9: het bepalen van de oppervlakte onder elke gegeven kromme
Het woord 'elke' in deze titel moet niet te serieus worden genomen.
De hoofdstelling van de integraalrekening was voor Newton volkomen evident: hij beschouwde een stuk oppervlak als voortgebracht door een bewegende lijn met als lengte de functiewaarde. Het is dan `logisch' dat de snelheid waarmee dat oppervlak groter wordt in een punt gelijk is aan de functiewaarde in dat punt. Newton gaf wel een iets langer argument, maar dat levert niet meer rechtvaardiging dan het bovenstaande.
Chronologisch gezien komt het artikel de Analysi eerder dan de Tractatus. De meeste zaken die in de Analysi behandeld zijn worden in de Tractatus nog een keer behandeld. Echter, Newton voerde in de Tractatus een aantal generalisaties door waardoor zijn integratietechniek niet zo helder is. Hij richtte zich meer op het oplossen van wat algemenere differentiaalvergelijkingen.
In de Analysi staat een duidelijke handleiding van Newton over hoe primitieven gevonden moet worden. Deze handleiding bestaat uit 3 regels:
De integraal van een som van termen van de vorm van regel 1 is de som van de integralen. Elke functie die niet van deze vorm is ontwikkel je in een machtreeks. Integreer deze machtreeks termsgewijs (met regel 2).
Hier is vooral 3 enigszins anders opgeschreven dan in het origineel. Voor Newton was een machtreeks namelijk gewoon een soort polynoom, dus hij maakte geen woorden vuil aan het termsgewijs integreren.
Newtons rechtvaardiging voor het gebruik van machtreeksen is vrij zwak. Hij zegt: zoals je getallen in machten van 10 kunt ontwikkelen op de bekende manier kun je functies in machten van ontwikkelen. Vervolgens voert hij op machtreeksen dezelfde bewerkingen uit als op polynomen, zonder enige rechtvaardiging. Belangrijk punt is hier - en dat zag Newton waarschijnlijk ook wel - dat de gevonden antwoorden in zijn voorbeelden juist zijn.
Het geheel werd door Newton aangevuld met een stel voorbeelden. De voorbeelden bij de regels 1 en 2 zijn niet erg interessant. Bij regel 3 gaf Newton echter 2 interessante voorbeelden:
Via een elementaire staartdeling vindt Newton:
dus:
Deze expressie (met en ) gebruikt hij om bijvoorbeeld tot op 50 cijfers te berekenen.
Het tweede voorbeeld gaat over het trekken van een wortel. Met een algoritme om wortels te trekken (principe: orde voor orde) vindt Newton:
Dus:
Het gebruik van machtreeksen is een van de belangrijkste onderwerpen in het werk van Newton. Hierdoor konden veel meer functies dan voordien worden geïntegreerd. Newton meende dat hiermee elke kromme kan worden geïntegreerd, maar dit is overdreven. Newton geeft geen algemene definitie van een kromme.
Leibniz (1646-1716) Reeksontwikkelingen Gottfried Wilhelm Leibniz was rond 1672 in zijn wiskundige kennis beperkt tot de meesterwerken van de oude Grieken. Om zich wiskundig verder te ontwikkelen moest hij leren wat de huidige ontwikkelingen in de wiskunde waren. Daarom vertrok hij naar Parijs. Het kwam hem daarom goed uit dat hij Christiaan Huygens ontmoette. Huygens stuurde Leibniz in zijn studie in het bestuderen van actuele problemen. Hij verkreeg ongepubliceerde manuscripten van Pascal en van Descartes. Huygens vroeg hem de som van de omgekeerde driehoeksgetallen uit te rekenen. Leibniz loste het probleem als volgt op. Eerst deelde hij de reeks door twee en verkreeg daarmee
Hij zag in dat dit gelijk is aan
De uitdrukking tussen de haakjes na de limiet heet tegenwoordig telescoopsom. En Leibniz concludeerde zodoende dat
Leibniz werd erg handig in het berekenen van oneindige sommen door de getallen in de harmonische driehoek te gebruiken. Dit zegt iets over zijn interesse in sommen en verschillen, die hij later bij de ontwikkeling van de analyse zou gebruiken. Leibniz wist bijvoorbeeld het volgende. Zij
een stijgende rij getallen met verschillen . Voor de rij getallen:
is dan:
Eerder dan uit de 'fluxes' en 'fluxions' van Newton, ontwikkelde Leibniz de analyse uit dit idee.
Ontwikkeling van de analyse