In de wiskunde is een legendre-polynoom een oplossing van de differentiaalvergelijking van Legendre. Er zijn ook de geassocieerde legendre-polynomen. Beide zijn naar de Franse wiskundige Adrien-Marie Legendre genoemd.

Differentiaalvergelijking De vergelijking waarvan de polynomen een oplossing vormen is:

De vergelijking komt regelmatig in de natuurkunde voor en de toegepaste wetenschappen, omdat de laplace-vergelijking in bolcoördinaten de gedaante van deze differentiaalvergelijking van Legendre heeft, althans voor rotatie-symmetrische gevallen, voor de -afhankelijkheid, waarbij de polaire hoek is.Lorrain en Corson, Electromagnetic fields and waves, 2nd ed., Freeman, San Francisco 1970, p. 165

De oplossing van deze vergelijking wordt door middel van een reeksontwikkeling gegeven en die convergeert wanneer . Bovendien is de waarde eindig voor , vooropgesteld dat een niet-negatief geheel getal is. In dat geval vormen de oplossingen van de vergelijking een reeks van orthogonale polynomen, de legendre-polynomen

Ieder legendre-polynoom is een veelterm van de graad en kan met de formule van Rodrigues worden geschreven:

Orthogonaliteit De legendre-polynomen zijn orthogonaal met betrekking tot het inproduct op het interval :

Daarin is de kroneckerdelta die gelijk is aan 1 als en anders nul.

Een andere manier om de polynomen af te leiden is gebruik te maken van de gram-schmidtmethode op het inproduct van de polynomen . De reden voor de orthogonaliteit van de polynomen is dat de legendre-vergelijking als een sturm-liouvilleprobleem kan worden gezien. ,

waarin de eigenwaarde overeenkomt met .

Een andere eigenschap van legendre-polynomen is dat:

zodra een veelterm is van de graad strikt kleiner dan .

Voorbeelden De eerste legendre-polynomen zijn:

{| class="wikitable" | width="20%" align="center" | | align="center" | | align="center" | normalisatiefactor |- | align="center" | 0 ||

| align="center" | 1 ||

| align="center" | 2

| align="center" | 3

| align="center" | 4

| align="center" | 5

| align="center" | 6

In de onderstaande figuur staan de grafieken van de eerste zes legendre-polynomen.

500px

Toepassingen in de natuurkunde Legendre-polynomen bewijzen hun nut bij de reeksontwikkeling van functies zoals

hierbij zijn en de lengte van de vectoren en en is de hoek tussen de beide vectoren. Deze ontwikkeling is geldig als .

Deze uitdrukking wordt bijvoorbeeld gebruikt om de potentiaal van een puntlading te vinden zoals deze ondervonden wordt in het punt wanneer de lading zich op punt bevindt. De ontwikkeling is vooral van nut wanneer men een integraal over een continue ladingsverdeling wil berekenen.

Legendre-polynomen komen voor als oplossingen van de laplace-vergelijking en de poissonvergelijking voor de potentiaal , indien bolcoördinaten worden gebruikt. Daarbij wordt gebruikgemaakt van de methode van scheiding van variabelen en wordt axiale symmetrie verondersteld, zodat er geen afhankelijkheid is van de azimuthale hoek. staat voor de symmetrieas en is de hoek tussen de waarnemer en de as . De oplossing is dan:

and moeten voor de randvoorwaarden van het betreffende probleem bepaald worden Jackson, J.D. Classical Electrodynamics, 3rd edition, Wiley & Sons, 1999. page 103.

Legendre-polynomen in multipoolontwikkelingen thumb

Het legendre-polynoom is ook van nut bij een reeksontwikkeling van de vorm

In feite is dit dezelfde ontwikkeling als hierboven in een wat andere vorm die voortvloeit uit de reeksontwikkeling van multipolen. De linkerzijde van de vergelijking genereert legendre-polynomen

Bijvoorbeeld, de elektrische potentiaal in bolcoördinaten die voortvloeit uit een puntlading op de -as in het punt (Fig. 2) is te schrijven als

Als de straal vanaf het punt van waarneming veel groter is dan , is het mogelijk de potentiaal te ontwikkelen tot legendre-polynomen:

hierbij is en genomen.

Door en om te keren kan in het omgekeerde geval ook een legendre-polynoom worden ontwikkeld.

Overige eigenschappen Legendre-polynomen zijn om en om symmetrisch en antisymmetrisch:

Aangezien de differentiaalvergelijking en de orthogonaliteit onafhankelijk zijn van de schaal zijn is de veelterm van nature gestandaardiseerd. Dit betekent dat .

Soms noemt men dit genormaliseerd, maar dit is wat verwarrend omdat de norm niet een is, immers:

Een orthonormale vorm van het polynoom ontstaat door toevoeging van een normalisatiefactor

De afgeleide aan de eindpunten wordt gegeven door:

Legendre-polynomen kunnen opgebouwd worden door gebruik te maken van de relaties

en

Een nuttige uitdrukking bij het integreren van de veelterm is:

Categorie:Algebra Categorie:Veelterm Categorie:Wiskundige reeks