thumb|De eerste vijf Chebyshev-polynomen
De chebyshev-polynomen van de eerste soort en van de tweede soort zijn twee rijen orthogonale polynomen, genoemd naar Pafnoeti Tsjebysjev. Hun belangrijke toepassingen liggen in onder andere de filtertechniek en in de numerieke wiskunde om benaderingen van functies te vinden. Chebyshev is de transliteratie van Tsjebysjev.
Eerste soort Definitie De chebyshev-polynomen van de eerste rij zijn voor gedefinieerd als:
Het zijn oplossingen van de chebyshev-differentiaalvergelijking, een sturm–liouville-differentiaalvergelijking:
Door de substitutie
gaat deze differentiaalvergelijking over in: ,
waaruit is te zien dat
een oplossing is.
Eigenschappen De eerste tien chebyshev-polynomen van de eerste soort zijn:
De chebyshev-polynomen van de eerste soort voldoen aan de volgende recursieve relatie:
voor
De voortbrengende functie voor de chebyshev-polynomen van de eerste soort is:
De chebyshev-polynomen van de eerste soort vormen op het interval [-1,1] een stelsel orthogonale polynomen ten opzichte van de gewichtsfunctie
Er geldt dus voor :
Dit is het directe gevolg van de relatie, neem ) als
Uit de definitie van de polynomen als cosinus volgt:
Tweede soort Definitie De rij chebyshev-polynomen van de tweede soort is gedefinieerd door de recursieve betrekking:
voor
Deze recursie verschilt alleen in de beginwaarde voor van de recursierelaties voor de chebyshev-polynomen van de eerste soort.
Voor geldt:
Vanwege de ophefbare singulariteit in geldt deze formule voor alle .
Eigenschappen De eerste acht chebyshev-polynomen van de tweede soort zijn:
De voortbrengende functie voor de chebyshev-polynomen van de tweede soort is:
De chebyshev-polynomen van de tweede soort vormen op het interval [-1,1] een stelsel orthogonale polynomen ten opzichte van de gewichtsfunctie
Er geldt dus voor :
Het chebyshev-polynoom van de tweede soort is een oplossing van de chebyshev-differentiaalvergelijking:
Dat is ook een sturm–liouville-differentiaalvergelijking.
Categorie:Veelterm Categorie:Wiskundige functie