In de lineaire algebra zegt men van twee vierkante matrices (over het lichaam (Ned) / Veld (Be) ) dat ze congruent zijn als er een inverteerbare matrix bestaat zodanig dat , waarin de getransponeerde aanduidt van .
Verband met bilineaire vorm Twee matrices zijn dan en slechts dan congruent als ze beide een grammatrix zijn van dezelfde bilineaire vorm.
Bewijs Stel dat en congruente -matrices zijn over een lichaam/veld . Kies als basis de eenheidsvectoren in en definieer de bilineaire vorm door:
Dan is voor
De vectoren vormen ook een basis en voor de bilineaire vorm met:
geldt:
dus .
Stel omgekeerd dat de matrices en beide de bilineaire vorm representeren. Dan zijn er bases en , zodat:
waarin de getallenrijtjes zijn van de coördinaten van en ten opzichte van de bases en , en de matrix van de basistransformatie is. Kennelijk is: ,
dus zijn en congruent.
Equivalentierelatie Matrix-congruentie is een equivalentierelatie, want: (Reflexiviteit) Elke matrix is congruent aan zichzelf; neem de eenheidsmatrix. (Symmetrie) Als congruent is met , is ook congruent met , want is inverteerbaar, dus
(Transitiviteit) Als congruent is met en congruent met , geldt dat er inverteerbare matrices en bestaan zodat
en , Hieruit volgt dat , en, omdat met en ook inverteerbaar is, is dus congruent met .
Zie ook Gelijksoortige matrices Equivalente matrices
Categorie:Lineaire algebra Categorie:Matrix