Tweelichamenprobleem

Het tweelichamenprobleem is, oorspronkelijk in de klassieke mechanica, en later ook in de atoomfysica, de wiskundige beschrijving van de beweging van twee lichamen, die in hun beweging slechts door elkaar beïnvloed worden. Daarbij ondervinden zij van elkaar een aantrekkende of afstotende kracht, tussen de massamiddelpunten van beide lichamen. De grootte van de kracht hangt alleen af van de afstand tussen beide lichamen. Het gezamenlijk massamiddelpunt van de twee lichamen staat stil, of beweegt in een rechte lijn met constante snelheid, in een eenparig rechtlijnige beweging. De middelpunten van de lichamen blijven in één vlak, loodrecht op het impulsmoment, grafisch weergegeven door een vector. Het impulsmoment is constant, volgens de wet van behoud van impuls.

Een bekend voorbeeld is de beschrijving van de baan van een planeet om de zon, waarbij de invloed van de andere planeten wordt verwaarloosd. De vergelijking van Kepler geeft de wiskundige vergelijking voor de snelheid van een planeet in haar baan om de zon.

Andere voorbeelden zijn de botsing van twee deeltjes, een dubbelster, een planeet met een maan, het waterstofatoom, steeds onder verwaarlozing van de invloed van krachten buiten het systeem van de twee lichamen.

Berekeningen aan meer lichamen, zoals bij het drielichamenprobleem, zijn complexer dan het tweelichamenprobleem.

Reductie tot twee onafhankelijke eenlichaamproblemen thumb|300px|Tweelichamenprobleem ontbonden in: and met Het tweelichamenprobleem met massa's en wordt beschreven door de vergelijkingen:

en ,

waarin de kracht is die het tweede lichaam op het eerste uitoefent, en en de posities van de beide lichamen zijn. De twee punten staan voor de tweede afgeleide naar de tijd.

Optellen van beide vergelijkingen levert:

Herschrijven als en

en optellen geeft: ,

waarin

de zogenaamde gereduceerde massa is en

de relatieve onderlinge positie, waarvoor geldt:

De eerste vergelijking De eerste vergelijking luidt:

Nu is de positie van het gemeenschappelijk zwaartepunt bepaald door:

Voor het zwaartepunt geldt dus:

Dat betekent dat het zwaartepunt geen versnelling ondergaat en dus beweegt met constante snelheid (eventueel stilstaat). Ook is de totale impuls

constant, zodat de positie van het zwaartepunt afgeleid kan worden uit de beginposities en de beginsnelheden.

De tweede vergelijking De tweede vergelijking luidt:

en die kan worden opgelost als bij de beweging van één lichaam met een massa gelijk aan de gereduceerde massa, in een radiaal krachtveld corresponderend met de betreffende kracht. Dit geeft binnen het baanvlak een stelsel van twee tweede-orde gewone differentiaalvergelijkingen voor de twee coördinaten van de plaatstijdfunctie.

In poolcoördinaten wordt dat:

of, met de hoeksnelheid :

, d.w.z. , of , dus

De beweging is planair De relatieve beweging van de beide lichamen ten opzichte van elkaar vindt plaats in een vlak in het referentiesysteem van het massazwaartepunt.

Voor de impuls en het impulsmoment ten opzichte van het massazwaartepunt geldt namelijk:

Voor de verandering in het impulsmoment geldt dus

Het impulsmoment is dus behouden, en de vector en de impuls , dus ook de snelheid liggen steeds in een vlak loodrecht op .

Omdat voor de snelheid geldt:

volgt:

met de hoeksnelheid, zodat de grootte van het impulsmoment gelijk is aan:

Energie In het geval van een conservatieve kracht, heeft het systeem een potentiële energie , zodat de totale energie gegeven wordt door:

In het referentiesysteem van het massazwaartepunt is de kinetische energie minimaal, zodat daar de totale energie gelijk is aan:

Differentiaalvergelijking De grootte van de onderlinge versnellingsvector (met een minteken bij aantrekking) wijkt door de middelpuntzoekende versnelling af van de tweede afgeleide naar de tijd van de afstand:

Voor kan de afhankelijkheid van de tijd buiten beschouwing gelaten worden en als functie van bepaald worden. Met de substitutie volgt:

en ,

zodat de diffrentiaalvergelijking overgaat in:

Bij de baansnelheid of omloopsnelheid kunnen onderscheiden worden: de radiale baansnelheid de transversale baansnelheid

Als voor of het zo is dat dan gaat de transversale baansnelheid naar nul, dus de snelheid gaat naar nul of de richting nadert naar de radiale richting. Als hierbij de snelheid naar nul gaat kan naar een eindige limiet gaan, zoals bij , of naar oneindig of min oneindig, zoals bij .

Een voorbeeld dat hieronder verder niet wordt behandeld is een volkomen elastische botsing van bolvormige lichamen, zonder wrijving.

Specifieke baanenergie en specifiek impulsmoment De specifieke baanenergie , de som van de specifieke kinetische energie en de potentiaal, en het specifieke impulsmoment worden verkregen door te delen door de gereduceerde massa. Voor het specifieke impulsmoment geldt ,

met de hoeksnelheid.

p-de-machtswet Laat gelijk zijn aan de grootte van de kracht gedeeld door de gereduceerde massa. Hieronder wordt aangenomen dat , met (positief bij een aantrekkende kracht, en negatief bij een afstotende, met dimensie ). kan van de gereduceerde massa afhangen, maar hangt niet van af.

De differentiaalvergelijking voor de afstand als functie van de tijd wordt nu dus:

Voor kunnen we weer de afhankelijkheid van de tijd buiten beschouwing laten; we krijgen dan:

Bij een aantrekkende kracht is voor voor elke een van de oplossingen een eenparig cirkelvormige beweging met

Voor geldt voor elke cirkelbaan .

Voor elke geldt bij deze cirkelbanen:

Bij wordt de potentiële energie bij oneindige afstand op nul gesteld, bij die bij ; bij moet een ander referentiepunt gekozen worden (hieronder: ). De energievergelijking wordt nu voor :

en voor :

De specifieke radiale kinetische energie is dus voor :

en voor :

Voor iedere combinatie van potentiële waarden van , en geldt dat als de zo berekende specifieke radiale kinetische energie niet-negatief is deze combinatie mogelijk is. Voor iedere combinatie van en volgt hieruit of deze mogelijk is, en zo ja, welke waarden van daarbij mogelijk zijn. Meestal is er voor iedere mogelijke combinatie van en in essentie één baan waarbij alle mogelijke waarden doorloopt, maar voor hebben alle cirkelbanen dezelfde combinatie .

Bij een aantrekkende kracht met zou het oneindig veel energie kosten om in het oneindige te komen, dus iedere baan is begrensd. Van een afstotende kracht met is niet realistisch dat die op onbeperkt grote afstand blijft gelden, dan zou oneindig veel potentiële energie vrijkomen bij een beweging naar het oneindige. Bij een afstotende kracht met is er een minimale afstand groter dan nul wegens de eindige .

Bij een aantrekkende kracht met geeft de vergelijking

voor iedere afstand de ontsnappingssnelheid.

Bij een aantrekkende kracht met hebben we een radiale harmonische oscillator (met een radiale kracht volgens de Wet van Hooke); de energievergelijking wordt dan:

De divergentie van het vectorveld voor de versnelling is

Voor is de divergentie dus nul buiten de oorsprong. In dit geval kan men veldlijnen tekenen of zich voorstellen die buiten de oorsprong nergens beginnen of eindigen, en waarvan de dichtheid (aantal lijnen per oppervlakte-eenheid) evenredig is met .

Schaling Gegeven een bepaalde baan is bij dezelfde ook een gelijkvormige baan mogelijk met de lengtes vermenigvuldigd met (met een willekeurige positieve constante). De doorlooptijd van een gelijkvormig deel van de baan wordt dan vermenigvuldigd met . Overeenkomstig de dimensies worden snelheden vermenigvuldigd met , versnellingen met , met en met .

Als vermenigvuldigd wordt met , worden bij dezelfde baan de doorlooptijden vermenigvuldigd met , de snelheden vermenigvuldigd met , de versnellingen met , met en met .

Voor geldt dat als vermenigvuldigd wordt met , bij dezelfde doorlooptijden de afstanden, snelheden en versnellingen vermenigvuldigd worden met , en en met .

p = 2 Hieronder wordt aangenomen dat (omgekeerde kwadratenwet).

Bij gravitatie (zwaartekracht) is gelijk aan de gravitatieconstante maal de totale massa; de aannamen gelden voor bolsymmetrische massa's (althans, het geheel van krachten tussen beide lichamen is gelijkwaardig met een kracht tussen de massamiddelpunten); dit betekent ook dat het starre lichamen zijn zonder getijdewerking. (Dat de lichamen om hun as draaien hoeft niet te worden uitgesloten, dat is onder deze voorwaarden onafhankelijk van de banen.)

Bij een vlucht met geen andere krachten dan gravitatie is er gewichtloosheid; de vlucht is een vrije val.

Tweedimensionaal Het tweedimensionale geval betreft het geval . In dit geval is een functie van de richting . De hulpvariabele voldoet aan:

Dit geeft de baan in poolcoördinaten:

met willekeurige richting waar nul is, en willekeurige niet-negatieve .

Dit is een kegelsnede: beide lichamen beschrijven ten opzichte van het massamiddelpunt en ten opzichte van elkaar gelijkvormige kegelsneden als banen. Het massamiddelpunt, respectievelijk het andere lichaam staat in een van de brandpunten van de kegelsnede. Bij een aantrekkende kracht is het een ellips, een parabool of de nabije tak van een hyperbool. Bij een afstotende kracht is het altijd de verre tak van een hyperbool. De baan kan uiteraard ook een deel van een kegelsnede zijn, bijvoorbeeld bij een raket tussen twee manoeuvres, of tot een object in een dampkring komt of een hemellichaam raakt.

Zoals gezegd geldt voor iedere mogelijke plaatstijdfunctie dat de in de tijd gespiegelde plaatstijdfunctie ten opzichte van een tijdstip waarop de radiale snelheidscomponent nul is gelijk is aan een ruimtelijke spiegeling van de plaatstijdfunctie. Dit geldt bij de ellips in twee punten en bij de parabool en hyperbool in één punt, voor zover in die punten de afstand tussen de lichamen niet kleiner zouden zijn dan de som van de stralen van de lichamen.

De parameter is de excentriciteit van de kegelsnede. Hiervoor geldt:

De kleinste afstand, bij een ellips heet dit de periapsisafstand, is dus

Twee bolvormige lichamen kunnen elkaar passeren als de som van de stralen kleiner is.

Bij de ellipsbaan en de hyperboolbaan geldt ook:

met sgn de signumfunctie en

is hier de halve grote as van de ellips of de halve afstand tussen de takken van de hyperbool.

De kleinste afstand kan nu ook worden uitgedrukt als bij een ellips, bij een nabije hyperbooltak en bij een verre hyperbooltak.

Verder geldt:

met de grootte van de relatieve snelheid tussen de twee massa's.

Na berekening van op basis van en in één punt van de baan geeft dit de relatie tussen afstand en snelheid voor de hele baan.

Bij een aantrekkende kracht geeft de vergelijking

voor iedere afstand de ontsnappingssnelheid.

Bij een gegeven niet-negatieve geeft de vergelijking

de eindsnelheid.

Bij een afstotende kracht geeft de vergelijking

voor iedere afstand de snelheid in het oneindige waarmee de twee lichamen elkaar tot op deze afstand kunnen benaderen.

Bij een ellipsbaan wordt de omlooptijd gegeven door:

Vaak is bij een planeet of komeet die zich in het zonnestelsel beweegt de invloed van andere hemellichamen dan de zon vrij klein, waardoor er bij benadering een tweelichamenprobleem is. De banen zijn dan bij benadering kegelsneden, gegeven door de wetten van Kepler.

Bij de maan en de meeste kunstmatige satellieten is de aarde het andere lichaam en is de invloed van andere hemellichamen dan de aarde vrij klein. Er is dan bij benadering sprake van een tweelichamenprobleem, zodat de baan net als bij planeten bij benadering een ellips is. Dit geldt ook bij een suborbitale ruimtevlucht, voor zover buiten de atmosfeer met de motor uit, alleen is die baan een deel van een ellips. Bij een klein object zoals een kunstmatige satelliet geldt (zie GM-product voor de Aarde).