In de kristallografie en de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, geeft een ruimtegroep of Fedorov-groep een beschrijving van de symmetrie van een kristal. Het is een groep van symmetrie-bewerkingen, die de ruimte vult. Ruimtegroepen bestaan uit een combinatie van rotatie-, spiegel- en translatiesymmetrieën.
De ruimtegroepen in drie dimensies werden voor het eerst in 1891 door Evgraf Fedorov geclassificeerd en kort daarna en onafhankelijk daarvan, in 1894, door de geoloog William Barlow en door de wiskundige Arthur Moritz Schoenflies. Deze eerste classificaties bevatten nog verschillende kleine fouten. De correcte lijst van precies 230 ruimtegroepen in drie dimensies kwam tot stand in een correspondentie tussen Fjodorov en Schoenflies.
Ruimtegroepen en dimensie van de ruimte Een patroon, dat translaties in één dimensie, in één richting bevat, heet een strookpatroon. Er zijn daarvoor zeven mogelijkheden, er zijn zeven strookpatroongroepen.
Het is al eeuwen bekend dat er in twee dimensies precies 17 verschillende ruimtegroepen zijn. Die worden behangpatroongroepen genoemd. Een patroon in twee dimensies zonder translatie, met alleen rotatie en eventueel spiegeling, wordt een rozet genoemd.
Er zijn in de driedimensionale ruimte zijn er zonder onderscheid tussen -, - en - richting 219 ruimtegroepen. Door onderscheid te maken tussen -, - en -richting komen 11 groepen voor als enantiomorfe paren. Dit brengt het totaal op precies 230 verschillende driedimensionale ruimtegroepen. Ruimtegroepen zijn vooral voor de kristallografie en de structuurbepaling middels röntgendiffractie van groot belang. Het is voor de bepaling van magnetische structuren middels neutronendiffractie ook nodig met de richting van ongepaarde elektronspins rekening te houden. Dit kan geschieden door de ruimtegroepen uit te breiden met een nieuw symmetrie-element , dat wel wordt tijdsinversie genoemd. Dit element keert de richting van een spin om zonder verder iets aan de atomaire structuur te veranderen. Door dit extra 'genererende element' worden, net als bij de puntgroepen, 'dubbelgroepen' gevormd en zo krijgt men de 1651 'magnetische ruimtegroepen'.
De naam ruimtegroep wordt in strikte zin gebruikt voor de driedimensionale euclidische ruimte. In de wiskunde worden ruimtegroepen soms ook in meer dan drie dimensies bestudeerd en worden in dat geval soms bieberbach-groepen genoemd. Bieberbach-groepen zijn discrete nevencompacte (cocompacte) groepen van isometrieën van een georiënteerde euclidische ruimte.
Klassificatie van de 230 ruimtegroepen De 230 ruimtegroepen, dus ook de kristallen, die de symmetrie-elementen van een van deze hebben, kunnen naar de zeven kristalstelsels, of naar de 14 bravaisroosters en de 32 kristallografische puntgroepen worden onderverdeeld. Omgekeerd genereren de 14 bravaisroosters en de 32 puntgroepen samen de 230 ruimtegroepen. Er zijn mogelijke combinaties, maar dit aantal wordt vanwege isomorfisme tot 230 verschillende ruimtegroepen teruggebracht.
Voor de classificatie van de ruimtegroepen wordt gebruikgemaakt van de internationale notatie, dit is de verkorte vorm van de hermann-mauguinnotatie. De symbolen voor de bravaisroosters zijn daarbij gecombineerd met de symbolen voor de puntgroepen. Omdat er in de loop der jaren kleine, meestal per land land bepaalde notatieverschillen zijn ontstaan, is omwille van de eenduidigheid aan iedere ruimtegroep een officieel nummer gegeven van 1 t/m 230.
puntgroep nummer ruimtegoep naar puntgroep en naar kristalstelsel triklien 1 1 P1 2 P monoklien 2 3-5 P2 P21 C2 m 6-9 Pm Pc Cm Cc 2/m 10-15 P2/m P21/m C2/m P2/c P21/c C2/c orthorombisch 222 16-24 P222 P2221 P21212 P212121 C2221 C222 F222 I222 I212121 mm2 25-46 Pmm2 Pmc21 Pcc2 Pma2 Pca21 Pnc2 Pmn21 Pba2 Pna21 Pnn2 Cmm2 Cmc21 Ccc2 Amm2 Aem2 Ama2 Aea2 Fmm2 Fdd2 Imm2 Iba2 Ima2 mmm 47-74 Pmmm Pnnn Pccm Pban Pmma Pnna Pmna Pcca Pbam Pccn Pbcm Pnnm Pmmn Pbcn Pbca Pnma Cmcm Cmce Cmmm Cccm Cmme Ccce Fmmm Fddd Immm Ibam Ibca Imma tetragonaal 4 75-80 P4 P41 P42 P43 I4 I41 81-82 P I 4/m 83-88 P4/m P42/m P4/n P42/n I4/m I41/a 422 89-98 P422 P4212 P4122 P41212 P4222 P42212 P4322 P43212 I422 I4122 4mm 99-110 P4mm P4bm P42cm P42nm P4cc P4nc P42mc P42bc I4mm I4cm I41md I41cd 2m 111-122 P2m P2c P21m P21c Pm2 Pc2 Pb2 Pn2 Im2 Ic2 I2m I2d 4/mmm 123-142 P4/mmm P4/mmc P4/nbm P4/nnc P4/mbm P4/nnc P4/nmm P4/ncc P42/mmc P42/mcm P42/nbc P42/nnm P42/mbc P42/mnm P42/nmc P42/ncm I4/mmm I4/mcm I41/amd I41/acd trigonaal 3 143-146 P3 P31 P32 R3 147-148 P R 32 149-155 P312 P321 P3112 P3121 P3212 P3221 R32 3m 156-161 P3m1 P31m P3c1 P31c R3m R3c m 162-167 P1m P1c Pm1 Pc1 Rm Rc hexagonaal 6 168-173 P6 P61 P65 P62 P64 P63 174 P 6/m 175-176 P6/m P63/m 622 177-182 P622 P6122 P6522 P6222 P6422 P6322 6mm 183-186 P6mm P6cc P63cm P63mc m2 187-190 Pm2 Pc2 P2m P2c 6/mmm 191-194 P6/mmm P6/mcc P63/mcm P63/mmc kubisch 23 195-199 P23 F23 I23 P213 I213 m 200-206 Pm Pn Fm Fd I Pa Ia 432 207-214 P432 P4232 F432 F4132 I432 P4332 P4132 I4132 3m 215-220 P3m F3m I3m P3n F3c I3d mm 221-230 Pmm Pnn Pmn Pnm Fmm Fmc Fdm Fdc Imm Iad
Bronvermelding
Categorie:Groepentheorie Categorie:Kristallografie Categorie:Symmetrie