thumb|Rekenliniaal Een rekenliniaal of soms logaritmische liniaal genoemd, is een analoog wiskundig instrument waarmee men berekeningen kan uitvoeren. Samen met de logaritmetafel en een handboek met de meest voorkomende wiskundige functies, zoals het Handbook of Mathematical Functions van Abramowitz en Stegun, vormde de rekenliniaal tot omstreeks 1980 een veel gebruikt rekengereedschap voor technici, natuurkundigen en ingenieurs. Met het beschikbaar komen van goedkope elektronische, digitale rekenmachines raakte de rekenliniaal al snel in onbruik.
Rekenlinialen werden vooral als hulpmiddel gebruikt bij het vermenigvuldigen en delen van twee getallen. De eenvoudigste rekenliniaal bestaat uit twee ten opzichte van elkaar glijdende schalen. In het vaste deel van de liniaal, het 'lichaam', kan een beweegbaar deel, de tong of schuif, worden verschoven. Op het lichaam en op de tong is daarbij dezelfde logaritmische schaalverdeling aangebracht. Dit betekent dat de schalen zo zijn ingedeeld dat de logaritmen van de weergegeven getallen op een lineaire schaal kunnen worden afgebeeld: het lijnstuk tussen de getallen 1 en 2 is even lang als het lijnstuk tussen 2 en 4.
Er zijn bijna altijd meer schalen. Tegenover en op de bovenzijde van de tong staan meestal de identieke logaritmische schalen A en B, die twee decaden beslaan, en op de onderzijde van de tong en daar tegenover de onderling identieke logaritmische schalen C en D, die één decade beslaan. Schalen A en B zijn aangeduid met en schalen C en D met .
Verder is er een doorzichtige schuif, de loper of cursor, met daarop een verticale lijn, de cursorstreep, waarmee een getal op een schaal met een getal op een andere schaal kan worden vergeleken. Zo kunnen de schalen A en B met de schalen C en D worden vergeleken om de wortel of omgekeerd het kwadraat van een getal te bepalen.
frame|none|Linkerzijde van een rekenliniaal in de stand voor het met 2 vermenigvuldigen van een getal tussen 1 en 5 op schaal C: eronder op schaal D leest men het resultaat af.
thumb|Cirkelvormige rekenliniaal
De nauwkeurigheid van een rekenliniaal wordt bepaald door het kleinste van de schaal af te lezen verschil, waardoor het aantal significante cijfers die op een rekenliniaal kunnen worden uitgelezen beperkt is. Dat wordt voor een deel bepaald door de nauwkeurigheid van de opdruk van de liniaal. De 'werking' van het materiaal van de liniaal ten gevolge van luchtvochtigheid en temperatuur heeft minder invloed op de nauwkeurigheid van de berekeningen.
Een rekenschijf is een cirkelvormige uitvoering van de rekenliniaal. Deze heeft als voordeel dat er geen delen van de tong buiten de liniaal geraken, waardoor er bijvoorbeeld bij gebruik van schaal C en D voor het vermenigvuldigen van een getal met 2 geen aparte standen zijn voor de getallen van 1 tot 5 en de getallen van 5 tot 10. Een nomogram is met een rekenliniaal te vergelijken, er bestaan ook rechte en cirkelvormige nomogrammen, maar is uitgevoerd op papier.
Geschiedenis Napier, Briggs en Oughtred De rekenliniaal werd rond 1620–1630 uitgevonden, kort na publicatie van John Napier over de logaritme en de beschrijving van Henry Briggs van de logaritmen met grondtal 10. Edmund Gunter uit Oxford ontwikkelde in 1620 een rekenlat met een enkele logaritmische schaal, die in combinatie met een passer kon worden gebruikt om te vermenigvuldigen en te delen. Deze Gunter-liniaal is meer dan 200 jaar door de Royal Navy gebruikt.
Rond het jaar 1624 combineerde de geestelijke William Oughtred uit Cambridge twee logaritmische schalen die ten opzichte van elkaar konden worden verschoven. Men beschouwt dit als de voorloper van de rekenliniaal. Oughtred produceerde in 1632 zijn Circles of Proportion, een ronde rekenliniaal met concentrische logaritmische schalen. In hetzelfde jaar combineerde hij twee Gunter-linialen en legde hij de basis voor de moderne rekenliniaal. Zoals zijn tijdgenoot in Cambridge, Isaac Newton, onderwees Oughtred zijn idee privé aan zijn studenten, maar publiceerde ze niet meteen. Oughtreds ideeën werden pas in 1632 en 1653 door William Forster gepubliceerd.
Robert Bissaker construeerde in 1654 de schuif met schalen op beide zijden. In 1662 werd voor het eerst gesproken over sliding rule en in Engeland was ook de naam Rulers of Proportion in gebruik.
Instrumentmakers Steeds meer Engelse instrumentmakers begonnen vanaf 1675 rekenlinialen te produceren. Er werden afhankelijk van de toepassing verschillende schalen op de rekenliniaal weergegeven. Bekend is de liniaal van Henry Coggeshall uit 1677 voor de houtindustrie, die meer dan 200 jaar in gebruik is geweest. De Soho-liniaal van Mathew Boulton en James Watt bijvoorbeeld, ontworpen in 1775, was geschikt om berekeningen aan stoommachines mee te kunnen uitvoeren.
Amédée Mannheim De rekenliniaal voor algemeen gebruik werd pas populair na een uitvinding van de Franse kolonel Amédée Mannheim in 1850. Mannheim kan worden beschouwd als de uitvinder van de moderne rekenliniaal.
Rond 1860 vond George Fuller een cilindrische rekenschaal uit. De Duitse firma Dennert und Pape begon in 1886 in Altona bij Hamburg rekenlinialen te produceren met schalen op wit celluloid en in de Verenigde Staten, Japan, Duitsland, Engeland en Frankrijk werden steeds meer rekenlinialen geproduceerd. De vraag naar rekenlinialen steeg enorm door de opkomst van de machinebouw, mijnbouw, waterstaatkundige werken, wapenindustrie en de elektrotechnische industrie. De logaritmische schaalverdelingen werden eerst met de hand geconstrueerd, maar omstreeks 1900 konden die mechanisch worden geconstrueerd en kreeg de productie van rekenlinialen steeds meer een industrieel karakter.
Behalve de rekenlinialen voor algemeen gebruik werden nog steeds veel rekenlinialen voor speciale toepassingen geproduceerd. Bekende linialen waren de elektroliniaal voor berekeningen in de elektrotechniek en linialen voor rekenwerk met betrekking tot gewapend beton. Deze linialen bevatten naast de schalen voor algemeen rekenwerk speciale aan het vakgebied gerelateerde schalen. Door deze ontwikkelingen werd de rekenliniaal het herkenningssymbool van de ingenieur en de technicus.
Gedurende de eerste 70 jaar van de twintigste eeuw verscheen er een enorme diversiteit van rekenlinialen op de markt. Was het onderwijs in het gebruik van de rekenliniaal eerst tot het technisch onderwijs beperkt, al gauw werd het gebruik ervan ook in het algemeen vormende middelbaar onderwijs onderwezen. Scholieren leerden met een logaritmetafel werken en met andere tafels voor het uitvoeren van nauwkeurige berekeningen.
Schalen Voorkomende schalen zijn onder meer: A en B: x2, van 1 tot 100 C en D: x, van 1 tot 10 CI en DI: 1/x, inverse (of omgekeerde) schaal van C en D, van 10 tot 1 CF en DF: πx, van π tot 10π; deze aan de C en D parallelle schaal voorkomt het moeten doorschuiven omdat de uitkomst buiten het bereik van de C of de D schaal ligt CIF: 1/πx, inverse (of omgekeerde) schaal van CI, van 10π tot π K: x3, kubusschaal, schaal voor derdemachten, van 1 tot 1000 L: 10log x, lineaire schaal, waarbij ieder getal op L de logaritme (met grondtal 10) is van het overeenkomstige getal op C en D; van 0 tot 1 LL-schalen: log-log- of natuurlijke logaritmeschalen, met getallen die meestal een ln of een e-macht zijn van de getallen x op C en D LL3: ex, van e tot e10, soms iets verder doorlopend links en rechts tot ronde getallen, bijvoorbeeld van 2,5 tot 50.000 LL2: ex/10, van e0,1 tot e, soms iets verder doorlopend links en rechts tot ronde getallen, bijvoorbeeld van 1,1 tot 3 LL1: ex/100, van e0,01 tot e0,1, dit is ongeveer van 1,01 tot 1,1; deze schaal kan bijvoorbeeld van pas komen bij renteberekeningen, met een rente van 1 tot 10% per periode LL0: ex/1000, van e0,001 tot e0,01, dit is ongeveer van 1,001 tot 1,01; deze schaal kan ook van pas komen bij renteberekeningen, met een rente van 0,1 tot 1% per periode, wat met name van toepassing kan zijn als de periode een maand of kwartaal is S: arcsin(x/10) in graden, sinusschaal, van arcsin 0,1 tot 90, soms iets verder doorlopend links tot een rond getal, bijvoorbeeld van 5,5 tot 90 T: arctan(x/10) in graden, tangensschaal, van arctan 0,1 tot 45, soms iets verder doorlopend links tot een rond getal, bijvoorbeeld van 5,5 tot 45 ST: 1,8x/π, sinus-tangensschaal voor kleine hoeken en tevens de schaal waarmee radialen naar graden kunnen worden omgerekend en omgekeerd, soms iets verder doorlopend links en rechts tot ronde getallen, bijvoorbeeld van 0,55 tot 6 P: de wortel uit 1-x2, ook wel de Pythagoras schaal genoemd, van 0,995 tot 0
Systemen Mannheim De moderne rekenlinialen hebben als basis de schalenconfiguratie en een cursor die rond 1850 door de Franse kolonel Mannheim werden bedacht. Het idee van een loper of cursor was overigens niet helemaal nieuw. Al in 1775 beschreef een zekere John Robertson een `verbeterde Gunter`, waarbij een cursor wordt toegepast.
De eerste Mannheim-linialen beschikten uitsluitend over de schalen A // B - C // D. Later werd de Mannheim-liniaal op de voorkant uitgebreid tot de configuratie: A // B - CI - C // D - K; de achterkant van de schuif had de configuratie // S - L - T //.
Rietz In 1902 vond Max Rietz een schalenconfiguratie die tot in de jaren zeventig van de twintigste eeuw de meest populaire schalenconfiguratie bleef: op de voorkant K - A // B - CI - C // D - L; op de achterkant van tong // S - ST - T //.
Darmstadt Technici en ingenieurs hadden behoefte aan een rekenliniaal waarmee met willekeurige machten en exponenten kan worden gerekend. Deze liniaal werd in 1935 bedacht door Dr. Alwin Walther uit Darmstadt. De Darmstadt-liniaal beschikt over een aantal log-log-schalen, die LL-schalen worden genoemd. Daarnaast was de zogenaamde Pythagorasschaal P een zeer handige noviteit. De Darmstadt-configuratie is op de voorkant K - A // B - CI - C // D - P; op de achterkant van de schuif staan de dubbellog-schalen: // LL1 - LL2 - LL3 //; de zijkanten van de oorspronkelijke Darmstadt-liniaal werden met de S-, de T- en de L-schaal uitgerust.
Overigens was het idee van dubbellog-schalen in de tijd van Walther niet nieuw: al in 1815 is het idee van log-log-schalen bedacht door de Engelsman Roget. Door de stand van de toenmalige wetenschap en techniek bestonden er echter nauwelijks toepassingen van rekentechnieken met andere dan de meest elementaire machten.
De getallen op de LL-schalen op de Darmstadt-liniaal zijn meestal een e-macht van de getallen x op C en D. Met deze LL-schalen kan men iedere macht met grondtal groter dan 1 berekenen. De exponent van het natuurlijke grondtal e (2,718...) is daarbij steeds positief. Vandaar dat deze schalen ook wel positieve LL-schalen worden genoemd.
Hybride Rietz-Darmstadt-linialen Met de oorspronkelijke Darmstadt-liniaal is het werken met grondtallen kleiner dan 1 en negatieve exponenten bewerkelijk. Daarom werden latere rekenlinialen uitgevoerd met negatieve LL-schalen: LL01, LL02 en LL03. Sommige rekenlinialen beschikken zelfs over een LL0-schaal, voor grondtallen groter dan 1 en over een LL00-schaal voor grondtallen kleiner dan 1.
Veel rekenlinialen beschikken over zogenaamde verschoven (Engels: folded) schalen. Die schalen worden met een F aangeduid, bijvoorbeeld CF en DF. De inversen van deze schalen worden aangeduid met CIF en DIF. Het voordeel van deze verschoven schalen is dat er minder heen en weer hoeft te worden geschoven met de tong van de liniaal.
De latere professionele rekenlinialen zijn feitelijk een hybride uitvoering van de systemen Rietz en Darmstadt, waarbij opvalt dat de LL-schalen gewoonlijk op het vaste deel van de liniaal zijn aangebracht. Een fraai voorbeeld is de duplexliniaal Aristo 0968, die in 1949 werd ontworpen en tot ongeveer 1980 een zeer populaire liniaal was bij technici en ingenieurs.
Deze tweezijdige liniaal met tweezijdige cursor heeft de volgende schalenconfiguratie: