De-Broglie-Bohm-Theorie

mini|190px|David Bohm

Die De-Broglie-Bohm-Theorie oder auch bohmsche Mechanik ist ein alternativer Formalismus der Quantenmechanik. Sie bestätigt alle Vorhersagen der (nichtrelativistischen) Quantenmechanik, weicht jedoch in ihren Prämissen deutlich vom Weltverständnis der Kopenhagener Deutung ab und führt dadurch zu einer spezifischen Interpretation der Quantenmechanik.

Die bohmsche Mechanik ist eine deterministische Theorie und vermeidet mit Hilfe verborgener Variablen das Messproblem der Quantenmechanik. Der Akt der Messung bzw. Beobachtung spielt somit in der De-Broglie-Bohm-Theorie keine ausgezeichnete Rolle (zum Messproblem siehe auch Schrödingers Katze).

Wie bei den meisten Interpretationen der Quantenmechanik besteht keine Möglichkeit, hinsichtlich der Voraussagen experimentell zwischen der bohmschen Mechanik und der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik zu unterscheiden, d. h., sie treffen in allen experimentell überprüfbaren Situationen dieselben Vorhersagen. Da mit der bohmschen Mechanik explizit die Auffassung von Quanten-Nichtlokalität und Quantenverschränkung vertreten wurde (von Einstein „spukhafte Fernwirkung“ genannt), hatte sie später vor allem John S. Bell aufgegriffen. Die De-Broglie-Bohm-Theorie spielt aufgrund des darin vertretenen Wirklichkeitsverständnisses (abseits vom Welle-Teilchen-Dualismus) in den Debatten um die Deutung von Quantenphänomenen eine untergeordnete Rolle.

Geschichte Die in der bohmschen Mechanik vertretene Kernauffassung wurde in den 1920er Jahren von dem französischen Physiker Louis de Broglie entwickelt.Nachdruck in: De Broglie bezeichnete sie als „Theorie der Führungswelle“ (theorie de l’onde pilote, engl. pilot wave theory). Diese fand jedoch nur geringe Beachtung und geriet in Vergessenheit. Ohne de Broglies Arbeiten zu kennen, entwickelte in den 1950er Jahren der US-amerikanische Physiker David Bohm eine äquivalente Fassung dieser Theorie. Bohm bezeichnete die Theorie später als ontologische bzw. kausale Interpretation der Quantenmechanik.

Seit den 1970er Jahren gehörte der irische Physiker John Stewart Bell zu den wenigen prominenten Physikern, die sich für die bohmsche Mechanik eingesetzt haben.Siehe zahlreiche Aufsätze in: Insbesondere argumentierte Bell gegen die dominierende Auffassung einer angeblich „Impossiblen Pilot Wave“Bell, John S. (1982): On the Impossible Pilot Wave. In: Foundations of Physics, 12 (10), S. 989–999., nur weil in dieser Theorie ein alternatives Wirklichkeitsverständnis vertreten wurde.

Seit den 1990er Jahren kam es auf diesem Gebiet wieder zu einer vermehrten Forschungstätigkeit, z. B. mit einer Arbeitsgruppe an der LMU (Detlef Dürr), der Rutgers University in New Jersey (Sheldon Goldstein) und der Universität Genua (Nino Zanghì). Durch diese Arbeitsgruppe wurde auch der Name bohmsche Mechanik (engl. Bohmian mechanics) geprägt. Bei dieser Bezeichnung gibt es jedoch den Nachteil, dass sie die Rolle de Broglies unterschlägt. Angesichts ihrer Entstehungsgeschichte scheint somit der Name „De-Broglie-Bohm-Theorie“ angemessener. Im Folgenden werden beide Bezeichnungen synonym verwendet.

Formalismus Die Grundidee der De-Broglie-Bohm-Theorie besteht darin, ein System nicht durch die von der Zeit und dem Ort abhängigen Wellenfunktion allein zu beschreiben, sondern durch das Paar aus Wellenfunktion und den Teilchenorten der jeweiligen Objekte (mit ). Bei diesen Objekten kann es sich um kleine Teilchen wie beispielsweise Elektronen oder andere Elementarteilchen sowie Atome handeln. Die Trajektorien der Teilchen sind die sogenannten verborgenen Parameter der Theorie. Die bohmsche Mechanik wird somit durch zwei Grundgleichungen definiert: zum einen durch die übliche zeitabhängige Schrödingergleichung der Quantenmechanik mit dem Hamilton-Operator

und zum anderen durch die Bewegungsgleichung („Führungsgleichung“) für die Teilchenorte

.

bezeichnet die Masse des i-ten Teilchens, den Imaginärteil-Operator und den Nabla-Operator, angewendet auf die komplexwertige Wellenfunktion des i-ten Teilchens.

Schreibt man die Wellenfunktion in Polardarstellung mit dem Radiusargument und dem Winkelargument

,

dann kann die Führungsgleichung auch äquivalent mittels

formuliert werden.

Bildlich gesprochen „leitet“ bzw. „führt“ die Wellenfunktion also die Bewegung der Teilchen. Innerhalb dieser Theorie bewegen sich die Quantenobjekte somit auf kontinuierlichen (und deterministischen) Bahnen. Diese Bewegung ist jedoch erst dann eindeutig festgelegt, wenn Anfangsbedingungen spezifiziert werden. Man beachte, dass die Führungsgleichung eine Differentialgleichung erster Ordnung ist, dass also die Angabe der Teilchenorte zu einem Zeitpunkt die Bewegung schon festlegt. Im Unterschied dazu legen in der klassischen Mechanik erst Ort und Geschwindigkeit (bzw. Impuls) die Bewegung eindeutig fest. Alle Vorhersagen der Quantenmechanik können durch die De-Broglie-Bohm-Theorie genau dann reproduziert werden, wenn man festlegt, dass am Anfang die Verteilung der Orte zu der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion passt. Diese Verteilung heißt „Quantengleichgewichtsverteilung“. Die Anfangsbedingung bedeutet demnach die Gültigkeit der folgenden „Quantengleichgewichtshypothese“.

Quantengleichgewichtshypothese Die Quantengleichgewichtshypothese lautet: Die Ortsverteilung eines durch die Wellenfunktion beschriebenen Systems lautet .

Die -Verteilung ist die Quantengleichgewichtsverteilung.

Aufgrund der Quantengleichgewichtshypothese wird in der bohmschen Mechanik auch die heisenbergsche Unschärferelation nicht verletzt. Im Unterschied zur üblichen Quantenmechanik sind die Wahrscheinlichkeitsaussagen der bohmschen Mechanik jedoch lediglich unserer Unkenntnis der konkreten Anfangsbedingungen geschuldet.

Die quantenmechanische Kontinuitätsgleichung

stellt sicher, dass ein einmal -verteiltes System diese Eigenschaft behält. Damit bleibt jedoch noch offen, warum diese Verteilung zu irgendeinem Zeitpunkt vorliegen soll. Zur Beantwortung dieser Frage existieren verschiedene Ansätze. Offensichtlich ist es unbefriedigend, diesen Umstand sehr speziellen Anfangsbedingungen (etwa des Universums) zuzuschreiben. Physikalisch intuitiv wäre es, wenn man einen dynamischen Mechanismus angeben könnte, der erklärt, wie (möglichst viele) Anfangsbedingungen sich dem Quantengleichgewicht annähern. Diesen Ansatz verfolgt etwa Valentini, der argumentiert, wie aufgrund der bohmschen Dynamik eine größere Klasse von Anfangsbedingungen zu einer näherungsweisen Quantengleichgewichtsverteilung führt.

Die Frage, ob viele oder wenige Anfangsbedingungen mit der Quantengleichgewichtshypothese verträglich sind, setzt natürlich ein Maß voraus, mit dem diese Mengen gemessen werden können. Dürr et al. wählten diese Freiheit zum Ausgangspunkt. Diese Autoren wählen ein Maß, bei dem durch eine spezielle Gewichtung fast alle Anfangsbedingungen mit der Quantengleichgewichtshypothese verträglich sind, und argumentieren, warum dieses Maß natürlich ist. Damit begründen sie, warum sich ein hypothetisches bohmsches Universum im Quantengleichgewicht befindet. Das Hauptresultat dieser Arbeit besteht nun darin, (i) das Konzept der Wellenfunktion eines Teilsystems zu definieren, und (ii) zu zeigen, dass diese Teilsysteme die Quantengleichgewichtshypothese erfüllen. In diesem Sinne ist nach Dürr die Quantengleichgewichtshypothese kein Postulat, sondern eine Konsequenz der bohmschen Mechanik.

Eigenschaften der bohmschen Trajektorien mini|Simulation einiger bohmscher Trajektorien beim Doppelspalt. Die Teilchen werden durch die Wellenfunktion geleitet, die am Doppelspalt interferiert. Auf diese Weise kommt es zu dem Interferenzmuster, obwohl eine Bewegung von Teilchen beschrieben wird.

Eine Anfangsbedingung legt jede bohmsche Trajektorie eindeutig fest, da die Führungsgleichung eine Differentialgleichung erster Ordnung ist. Das hat zur Folge, dass sich die Teilchenbahnen im Konfigurationsraum nicht schneiden können. Im Einteilchenfall findet die Bewegung also überschneidungsfrei im Ortsraum statt. Auf diese Weise kann man sich bei einfachen Systemen auch ohne numerische Simulation ein qualitatives Bild der Teilchenbewegung machen.

Die Abbildung zeigt die Simulation einiger Trajektorien beim Doppelspalt. Die Eigenschaft der Überschneidungsfreiheit zusammen mit der Symmetrie der Anordnung sorgt dafür, dass die Bahnen die Mittelebene nicht schneiden können. Diese Abbildung illustriert auch, dass die bohmschen Trajektorien unklassisch verlaufen. Sie weisen Richtungsänderungen auf, obwohl der Bereich hinter dem Spalt im klassischen Sinne feldfrei ist. In diesem Sinne gilt auf dem Niveau der individuellen Bahnen weder Energie- noch Impulserhaltung.

Im Falle reeller Wellenfunktionen ist die Situation noch einfacher. Da hier die Phase der Wellenfunktion verschwindet, ruht das Teilchen an -verteilten Orten. Diese Situation liegt z. B. beim Grundzustand des Wasserstoffatoms oder bei den Energieeigenzuständen des harmonischen Oszillators vor.

Spin in der bohmschen Mechanik Es ist instruktiv zu betrachten, wie die De-Broglie-Bohm-Theorie den Spin beschreibt. Hier existieren verschiedene Ansätze, aber eine naheliegende Möglichkeit besteht darin, den Spin nicht dem Teilchen zuzuordnen, sondern nur als Eigenschaft der Wellenfunktion (bzw. des Pauli-Spinors) aufzufassen.

Konkret geht man von der Schrödingergleichung zur Pauli-Gleichung über. Aus der Wellenfunktion wird ein 2-komponentiger Spinor . Es existiert – analog zur Beschreibung spinloser Teilchen – ein Strom:

Hier bezeichnet das Vektorpotential und den Spinorindex. Die Führungsgleichung lautet analog zum spinlosen Fall:

Auch ohne die mathematischen Details zu überblicken, sollte folgender Punkt klar werden: Die Eigenschaft Spin wird nicht dem Teilchen zugeordnet, d. h. dem Objekt auf der bohmschen Trajektorie, und der Konfigurationsraum bleibt derselbe wie im Falle spinloser Objekte. Im Besonderen wird keine „verborgene Variable“ für den Spin eingeführt. Die übliche Sprechweise lautet, dass der Spin „kontextualisiert“ wird (s. u.).

Wichtige Eigenschaften Charakteristische Eigenschaften der De-Broglie-Bohm-Theorie sind die folgenden:

Lösung des quantenmechanischen Messproblems Die mit Abstand wichtigste Eigenschaft der De-Broglie-Bohm-Theorie ist, dass sie das Messproblem der Quantenmechanik löst bzw. dass innerhalb dieser Theorie das Messproblem gar nicht erst auftritt. Das Messproblem der Quantenmechanik besteht im Kern darin, Überlagerungen makroskopisch verschiedener Zustände zu interpretieren. Diese treten bei der quantenmechanischen Behandlung der Messung auf ganz natürliche Weise auf, obwohl jede tatsächlich durchgeführte Messung immer ein definiertes Ergebnis hat (also nicht durch eine Überlagerung beschrieben wird).

Um diesen Widerspruch aufzuklären, wurde von John von Neumann eine spezielle Zustandsänderung beim Akt der Messung postuliert, der sogenannte Kollaps der Wellenfunktion. Dieser stellt aber weniger eine Lösung als ein Eingeständnis des Messproblems dar. Schließlich bleibt unklar, welche Wechselwirkung den Rang einer Messung hat und wie dieser Mechanismus physikalisch zu verstehen ist.

In der bohmschen Mechanik gibt es hingegen einen einfachen Mechanismus, der die Komponente der Wellenfunktion auszeichnet, die dem tatsächlichen Messresultat entspricht: Es ist der Teilchenort, der in einer kontinuierlichen Bewegung einen Zweig der Wellenfunktion erreicht hat. Mit anderen Worten: Verschiedene Messresultate sind in der De-Broglie-Bohm-Theorie durch unterschiedliche Konfigurationen unterschieden.

Status von Observablen und Kontextualität