In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra unitär, wenn es invertierbar ist und das adjungierte Element und das inverse Element dasselbe sind.
Definition
Sei eine *-Algebra mit Einselement , so heißt ein Element unitär, falls , also wenn invertierbar ist und gilt.
Die Menge der unitären Elemente wird mit oder bezeichnet.
Besonders interessant ist der Fall, bei dem eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft () erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.
Kriterien
Sei eine unitäre C*-Algebra und ein normales Element. Genau dann ist unitär, wenn das Spektrum nur aus Elementen der Kreisgruppe besteht, das heißt
Beispiele
Trivialerweise ist das Einselement unitär.
Sei eine unitäre C*-Algebra. Ist ein normales Element einer C*-Algebra , dann definiert jede auf dem Spektrum stetige Funktion , mittels stetigem Funktionalkalkül ein unitäres Element , falls
Eigenschaften
Sei eine unitäre *-Algebra und Dann gilt:
Das Element ist unitär, da Insbesondere bildet eine multiplikative Gruppe. Das Element ist normal. Das adjungierte Element ist ebenfalls unitär, da für die Involution * gilt. Wenn eine C*-Algebra ist, hat Norm 1, also
Siehe auch
Unitäre Matrix Unitärer Operator
Literatur
Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1. Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.
Kategorie:Funktionalanalysis