In de wiskunde is een verzamelingenalgebra of algebra van verzamelingen een collectie deelverzamelingen van een gegeven verzameling die aan de wetten van de algebra van verzamelingen voldoet. Het zijn precies de ringen van verzamelingen die bovendien de gegeven verzameling zelf ook als element bevatten.
Definitie Zij een verzameling, universum genaamd, en zij de machtsverzameling van . Een familie van deelverzamelingen van is een verzamelingenalgebra over als ze voldoet aan de volgende eigenschappen:
Hierbij is het complement van , namelijk de verschilverzameling van en . De elementen van heten soms de gebeurtenissen van de algebra. Zie het artikel sigma-algebra voor een interpretatie waarin de verzameling is van alle mogelijke werelden die we ons kunnen voorstellen.
Het meest voordehandliggende voorbeeld van een verzamelingenalgebra over een universum is de machtsverzameling zelf.
Uit de definitie volgt dat verzamelingenalgebra's niet alleen gesloten zijn onder het nemen van complementen en verenigingen, maar ook doorsnedes en relatieve verschillen. Hierdoor is iedere algebra van verzamelingen ook een ring van verzamelingen. Omgekeerd is een ring van verzamelingen over een universum een verzamelingenalgebra over dan en slechts dan als geldt.
Verband met booleaanse algebra Elke verzamelingenalgebra over een universum is een Booleaanse algebra met de verzamelings-theoretische bewerkingen doorsnede, vereniging en complement als Booleaanse bewerkingen EN, OF en NIET, respectievelijk. De axioma's die als eisen voor deze Booleaanse bewerkingen gelden in de definitie van een Booleaanse algebra, zijn precies de eigenschappen die doorsnede, vereniging en complement in een verzamelingenalgebra hebben. In deze zin zijn verzamelingenalgebra's heel natuurlijke voorbeelden van Booleaanse algebra's, net als propositionele logica's.
Een homomorfisme tussen twee Booleaanse algebra's is een afbeelding die de bewerkingen EN, OF en NIET en de constanten en behoudt. Een isomorfisme is een bijectie die in beide richtingen een homomorfisme is. Een Booleaanse algebra heet representeerbaar als het isomorf is aan een verzamelingenalgebra . Een dergelijke verzamelingenalgebra met een isomorfisme van naar heet een representatie van .
De representatiestelling van Stone laat zien dat elke Booleaanse algebra representeerbaar is, waaruit blijkt dat representeerbaarheid op zichzelf geen interessant begrip is. Dit laat weer zien dat verzamelingenalgebra's natuurlijke voorbeelden van Booleaanse algebra's zijn. De trivialiteit van het begrip verdwijnt als varianten van representeerbaarheid worden beschouwd waarbij verdere eisen worden gesteld aan de representaties, zoals bij -isomorfismen tussen -volledige algebra's voor een kardinaalgetal het geval is.
Verband met ringtheorie Een verzamelingenalgebra is een commutatieve ring met eenheidselement voor de bewerkingen Δ (symmetrisch verschil) en ∩ (doorsnede). Het symmetrische verschil is gedefinieerd als
Het is zelfs een Boole-ring in de zin dat elk element idempotent is: voor elke deelverzameling geldt immers .
Verder kan deze ring worden opgevat als een associatieve algebra over het commutatieve lichaam (de restklassen modulo 2) met als scalaire vermenigvuldiging:
Verband met kansrekening en maattheorie Verzamelingenalgebra's kunnen in principe gebruikt worden als basis voor de kansrekening. De elementen van de algebra vormen de gebeurtenissen. De kans op elke gebeurtenis wordt beschreven door een getal tussen 0 en 1 aan elk element van de algebra te associëren.
Het is hier gebruikelijk om aan de algebra een bijkomende eis op te leggen, namelijk dat de vereniging van een oneindige rij gebeurtenissen opnieuw een gebeurtenis is:
Een verzamelingenalgebra die aan deze strengere eis voldoet, heet een sigma-algebra. Sigma-algebra's vormen naast kansrekening ook de basis voor maattheorie, door ook getallen buiten het interval als geassocieerde waarde bij een gebeurtenis (of "meetbare verzameling") toe te staan.
In de bovenstaande formule is op te merken dat eindige rijen sowieso al aan deze voorwaarde voldoen en dat de volgorde van de elementen in de rij niet uitmaakt. De woorden "oneindige rij" kunnen dus ook vervangen worden door "aftelbare verzameling". Algemener spreekt men voor een kardinaalgetal over een -volledige verzamelingenalgebra als voor elke verzameling van kardinaliteit strikt kleiner dan aan de voorwaarde wordt voldaan. -volledige verzamelingenalgebra's en verwante structuren spelen een rol in de grote kardinaalgetallenleer.
Categorie:Verzamelingenleer Categorie:Algebra