alt=De productlogaritme van de Lambert W-functie uitgezet in het complexe vlak|miniatuur| De productlogaritme van de Lambert W-functie uitgezet in het complexe vlak van tot miniatuur|De grafiek van voor reële getallen en De bovenste tak (blauw) met is de grafiek van de functie (hoofdtak), de onderste tak (magenta) met is de grafiek van de functie De minimumwaarde van is op . In de wiskunde is de Lambert W-functie, ook wel omega-functie of productlogaritme genoemd, een meerwaardige functie, namelijk de takken van de omgekeerde relatie van de functie , waar een willekeurig complex getal is en de exponentiële functie. De functie is vernoemd naar Johann Lambert, die in 1758 een verwant probleem onderzocht. Voortbouwend op Lamberts werk beschreef Leonhard Euler de W-functie zelf in 1783.
Ondanks de vroege oorsprong en het wijdverbreide gebruik ervan, werden de eigenschappen ervan pas in de jaren negentig algemeen erkend, voornamelijk dankzij het werk van Rob Corless.
Voor elk geheel getal er is één tak, aangeduid met , die een functie is van één complex argument. staat bekend als de hoofdtak.
Deze functies hebben de volgende eigenschap: als en complexe getallen zijn, dan geldt
dan en slechts dan als
Bij het werken met alleen reële getallen volstaan de twee takken En : voor reële getallen en kan de vergelijking
opgelost worden voor alleen als ; dit geeft als en de twee waarden en als .
De takken van de Lambert W-functie kunnen niet worden uitgedrukt in termen van elementaire functies.
De functie is nuttig in de combinatoriek, bijvoorbeeld bij het doorlopen van bomen. Ze kan worden gebruikt om verschillende vergelijkingen met exponentiële functies op te lossen (bijvoorbeeld de maxima van de Planck-, Bose-Einstein- en Fermi-Dirac-verdelingen) en komt ook voor bij de oplossing van vertragingsdifferentiaalvergelijkingen, zoals .
In de biochemie, en met name in de enzymkinetiek, wordt een open-vormoplossing voor de tijdsafhankelijke kinetische analyse van de Michaelis-Menten-kinetiek beschreven in termen van de Lambert W-functie.
Geschiedenis Lambert beschouwde de verwante transcendentale vergelijking van Lambert voor het eerst in 1758, wat leidde tot een artikel van Leonhard Euler in 1783 waarin het speciale geval werd besproken van .
De vergelijking die Lambert in overweging nam was
Euler transformeerde deze vergelijking in de vorm
Beide auteurs leidden een reeks oplossingen af voor hun vergelijkingen.
Nadat Euler deze vergelijking had opgelost, beschouwde hij het geval . Door de limieten te nemen, leidde hij de vergelijking af
Vervolgens nam hij en verkreeg een convergente reeks voor de resulterende vergelijking, die uitdrukt in termen van .
Na het nemen van afgeleiden met betrekking tot x en enige manipulatie wordt de standaardvorm van de Lambert-functie verkregen.
In 1993 werd gemeld dat de Lambert W-functie een exacte oplossing biedt voor het kwantummechanische Dirac-deltafunctie-model voor gelijke ladingen — een fundamenteel probleem in de natuurkunde. Hierdoor beseften Rob Corless en de ontwikkelaars van het Maple-computeralgebrasysteem dat "de Lambert W-functie op grote schaal is gebruikt in vele vakgebieden, maar vanwege de verschillende notaties en het ontbreken van een standaardnaam was de functie niet zo bekend als zou moeten."
Een ander voorbeeld waarin deze functie wordt gevonden, is in de Michaelis-Menten-kinetiek.
Hoewel algemeen werd aangenomen dat de Lambert W-functie niet kan worden uitgedrukt in termen van elementaire (Liouvilliaanse) functies, verscheen het eerste gepubliceerde bewijs pas in 2008.
Categorie:Speciale functie Categorie:Wikipedia:Pagina's met vertalingen die niet zijn nagekeken